京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2018年8月実施 問題II-1

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• 热容与自由度
• 正则配分函数

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

質量 $m$ の二つの質点が束縛されている模型によって2原子分子を考える。この「分子」が体積 $V$ の箱の中に $N$ 個あるとする。質点間距離の特徴的な長さ $a$ は分子間距離の典型的な長さ $(V/N)^{1/3}$ よりも十分小さいとし、分子間の相互作用は無視できるとする。ボルツマン定数を $k_B$ とする。

(1) 分子内の原子間相互作用として、質点間距離が常に一定値 $a$ に保たれている模型を考える。古典統計力学の範囲で、温度 $T$ の平衡状態における圧力 $P(T,V,N)$ および定積熱容量 $C_V(T,V,N)$ を書け。また、これらを導く基本的な考え方を簡潔に記せ。計算の詳細を説明する必要はない。

(2) 次に、分子内の原子間相互作用が、自然長 $a$、ばね定数 $k$ のばねで記述される模型を考える。すなわち、$\vec r_1$ にある質点と $\vec r_2$ にある質点は

$$\frac12k(|\vec r_1-\vec r_2|-a)^2$$

という相互作用エネルギーを持つ。$ka^2\gg k_BT$ のとき、古典統計力学の範囲で、温度 $T$ の平衡状態における圧力 $P(T,V,N)$ および定積熱容量 $C_V(T,V,N)$ を求めよ。また、これらを導く考え方を簡潔に記せ。計算の詳細を説明する必要はない。

小問 (2) の設定に対して量子統計力学で考える。ただし、質点は同種粒子であるとし、ボース統計に従うものとする。プランク定数を $2\pi$ で割ったものを $\hbar$ とする。

(3) 次元解析を用いて、以下の3つの温度 $T_0,T_1,T_2$ を求めよ。$T_0$ は質点の質量 $m$ と数密度 $n$ によって決まる温度、$T_1$ は質点の質量 $m$ と自然長 $a$ によって決まる温度、$T_2$ は質点の質量 $m$ とばね定数 $k$ によって決まる温度である。ただし、$\hbar$ や $k_B$ を使ってよい。

(4) 温度領域 $T\ll T_0$ で観測される顕著な現象の名称を記せ。

(5) $T_0\ll T_1\ll T_2$ とする。3つの温度領域 (i) $T_0\ll T\ll T_1$、(ii) $T_1\ll T\ll T_2$、(iii) $T\gg T_2$ においてそれぞれ定積熱容量を書け。また、これらを導く基本的な考え方を簡潔に記せ。

(6) 一気圧常温（300 K 程度）の2原子分子気体の定積熱容量はおよそ $5Nk_B/2$ である。この事実と整合するためには、ばねの角振動数 $\omega=\sqrt{k/m}$ はある値 $\omega_c$ よりも十分大きくなければならない。その角振動数の値 $\omega_c$ を見積もれ。ただし、$\hbar=10^{-34}\,\mathrm{m^2\,kg\,s^{-1}}$、$k_B=10^{-23}\,\mathrm{m^2\,kg\,s^{-2}\,K^{-1}}$ としてよい。

题目描述

用两个质量为 $m$ 的质点相互束缚的模型描述双原子分子。设体积为 $V$ 的箱中有 $N$ 个这样的“分子”。质点间距离的特征长度 $a$ 远小于典型分子间距 $(V/N)^{1/3}$，忽略分子间的相互作用。玻尔兹曼常数为 $k_B$。

(1) 考虑分子内两原子的相互作用使质点间距始终保持为常数 $a$ 的模型。在经典统计力学范围内，写出温度 $T$ 下平衡状态的压力 $P(T,V,N)$ 和定容热容量 $C_V(T,V,N)$，并简述导出它们的基本思路，无需说明详细计算。

(2) 接着考虑用自然长度为 $a$、弹簧常数为 $k$ 的弹簧描述分子内相互作用的模型，即位于 $\vec r_1$ 和 $\vec r_2$ 的两质点具有相互作用能

$$\frac12k(|\vec r_1-\vec r_2|-a)^2.$$

当 $ka^2\gg k_BT$ 时，在经典统计力学范围内，求温度 $T$ 下平衡状态的压力 $P(T,V,N)$ 和定容热容量 $C_V(T,V,N)$，并简述导出它们的思路，无需说明详细计算。

接下来用量子统计力学研究第 (2) 问的模型。设质点是服从玻色统计的同种粒子，普朗克常数除以 $2\pi$ 记为 $\hbar$。

(3) 使用量纲分析求三个温度 $T_0,T_1,T_2$。$T_0$ 由质点质量 $m$ 和数密度 $n$ 决定，$T_1$ 由质点质量 $m$ 和自然长度 $a$ 决定，$T_2$ 由质点质量 $m$ 和弹簧常数 $k$ 决定。可以使用 $\hbar$ 和 $k_B$。

(4) 写出在温区 $T\ll T_0$ 中观测到的显著现象的名称。

(5) 设 $T_0\ll T_1\ll T_2$。分别写出三个温区 (i) $T_0\ll T\ll T_1$、(ii) $T_1\ll T\ll T_2$、(iii) $T\gg T_2$ 中的定容热容量，并简述推导的基本思路。

(6) 一个大气压、常温（约300 K）下，双原子分子气体的定容热容量约为 $5Nk_B/2$。为与该事实一致，弹簧角频率 $\omega=\sqrt{k/m}$ 必须远大于某值 $\omega_c$。估计这个角频率尺度 $\omega_c$。可取 $\hbar=10^{-34}\,\mathrm{m^2\,kg\,s^{-1}}$、$k_B=10^{-23}\,\mathrm{m^2\,kg\,s^{-2}\,K^{-1}}$。

Kai

(1)

並進の3自由度と回転の2自由度がそれぞれ $k_BT/2$ を持つ。配置積分の体積依存性は $V^N$ であるから

$$\boxed{P=\frac{Nk_BT}{V},\qquad C_V=\frac52Nk_B.}$$

(2)

伸縮振動の運動エネルギーとポテンシャルエネルギーが各 $Nk_BT/2$ を加える。$ka^2\gg k_BT$ により結合長のゆらぎが小さく、回転と伸縮を分離できる。したがって

$$\boxed{P=\frac{Nk_BT}{V},\qquad C_V\simeq\frac72Nk_B.}$$

(3)・(4)

次元解析では無次元係数は決まらない。各温度の尺度は

$$\boxed{T_0\sim\frac{\hbar^2n^{2/3}}{mk_B},\qquad T_1\sim\frac{\hbar^2}{ma^2k_B},\qquad T_2\sim\frac{\hbar}{k_B}\sqrt{\frac{k}{m}}.}$$

順に並進の量子縮退、回転準位、伸縮振動のエネルギー尺度に対応する。$T\ll T_0$ では ボース・アインシュタイン凝縮 が現れる。

(5)

$T\gg T_0$ では並進は古典的で $3Nk_B/2$ を与える。回転・振動は、その準位間隔より $k_BT$ が小さければ凍結する。したがって

$$\boxed{C_V\simeq \begin{cases} 3Nk_B/2 &(T_0\ll T\ll T_1),\\ 5Nk_B/2 &(T_1\ll T\ll T_2),\\ 7Nk_B/2 &(T\gg T_2). \end{cases}}$$

最後の領域では、分子の小振幅模型が成り立つ $k_BT\ll ka^2$ も仮定する。換算質量は $m/2$ なので伸縮の実際の角振動数は $\sqrt{2k/m}$、慣性モーメントは $ma^2/2$ である。この数係数は上の温度尺度や極限の熱容量を変えない。

(6)

室温で伸縮振動が凍結するための尺度は $\hbar\omega\gg k_BT$。よって

$$\boxed{\omega_c\sim\frac{k_B(300\,\mathrm K)}\hbar=3\times10^{13}\,\mathrm{s^{-1}}.}$$

Reference

• 京都大学公式原題（2019年度、PDF 9ページ）