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京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2018年8月実施 問題III-2-AB

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Author​

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description​

III-2A（電磁気学）​

真空の誘電率を ε0\varepsilon_0 として以下の問いに答えよ。なお、解答には SI 単位系を用いよ。

(1) 総電荷が ee に等しく、内部が一様に帯電した半径 aa の球があるとする。球の中心を原点として、原点からの距離 rr を用いて、この球がつくる電場を表せ。

(2) 小問 (1) の球がもつ静電エネルギー U0U_0 を求めよ。

π\pi 中間子には、中性のものと、素電荷 ee を持つものがあり、荷電 π\pi 中間子は中性 π\pi 中間子よりわずかにエネルギーが高い（すなわち、質量がわずかに大きい）。このエネルギー差を静電エネルギーの差で説明できるとする。ここで、以下の 2 つのモデルを比較する。

モデル I： π\pi 中間子は半径 aa の球である。荷電 π\pi 中間子は内部が一様に帯電しているのに対し、中性 π\pi 中間子はまったく帯電していない。

モデル II： π\pi 中間子は、いずれも同じ距離 bb 離れた 2 つの点電荷の対からなる。荷電 π\pi 中間子は電荷 13e\frac13e と 23e\frac23e を持つ点電荷対からなる。一方、中性 π\pi 中間子は、電荷 13e\frac13e と −13e-\frac13e を持つ点電荷対からなる状態 A と、電荷 23e\frac23e と −23e-\frac23e を持つ点電荷対からなる状態 B の重ね合わせで表される。中性 π\pi 中間子の静電エネルギーは、各状態 A, B の静電エネルギーの相加平均で与えられる。なお、仮想的に bb を無限大とした場合、荷電および中性 π\pi 中間子の静電エネルギーに差はないものとする。

(3) 荷電 π\pi 中間子と中性 π\pi 中間子の静電エネルギーの差がモデル I とモデル II で等しいとしたとき、比 a/ba/b の値を求めよ。

III-2B（統計力学）​

NN 個の要素が直線状に連なった鎖状分子がある。各要素 ii はそれぞれ独立に σi=+1\sigma_i=+1 または −1-1 のいずれかの状態を取ることができ、長さ l+σial+\sigma_i a、エネルギー ϵ+σiΔ\epsilon+\sigma_i\Delta をもつものとする。ただし、l,a,ϵ,Δl,a,\epsilon,\Delta は定数である。この鎖状分子を一定の外力 ff で引っ張るときの全系のエネルギーは

E({σi})=∑i=1N(ϵ+σiΔ)−fL(A)E(\{\sigma_i\})=\sum_{i=1}^N(\epsilon+\sigma_i\Delta)-fL \tag{A}

で与えられる。ただし、

L=∑i=1N(l+σia)L=\sum_{i=1}^N(l+\sigma_i a)

は鎖状分子全体の長さである。以下の設問において、A‾\overline A は物理量 AA の温度 TT のカノニカル分布での期待値を表す。ボルツマン定数は kBk_B とする。

(1) 温度 TT におけるカノニカル分布で σi=1\sigma_i=1 である確率を求めよ。

(2) σi\sigma_i の期待値 σi‾\overline{\sigma_i} とゆらぎの大きさ (σi−σi‾)2‾\overline{(\sigma_i-\overline{\sigma_i})^2} を計算せよ。

(3) 温度一定で外力を ff から f+δff+\delta f に変化させると、分子の長さの期待値は L‾\overline L から L‾+δL‾\overline L+\delta\overline L に変化した。このとき、δf\delta f が小さければ、近似的に

δL‾≃kδf(B)\delta\overline L\simeq k\delta f \tag{B}

と表される。この係数 kk を求めよ。

(4) 式 (A) を一般化して、全系のエネルギーが

E({σi})=E0({σi})−fLE(\{\sigma_i\})=E_0(\{\sigma_i\})-fL

の形に与えられるとき、式 (B) で定義される kk を分子の長さのゆらぎ (L−L‾)2‾\overline{(L-\overline L)^2} を用いて表せ。なお、E0({σi})E_0(\{\sigma_i\}) は ff に依存しないものとする。

题目描述​

III-2A（电磁学）

设真空介电常数为 ε0\varepsilon_0，回答下列问题。答案使用 SI 单位制。

(1) 一个半径为 aa 的球内部均匀带电，总电荷为 ee。以球心为原点，用到原点的距离 rr 表示该球产生的电场。

(2) 求小问 (1) 中球的静电能 U0U_0。

π\pi 介子有中性和带有元电荷 ee 的两种，带电 π\pi 介子的能量略高于中性 π\pi 介子（即质量略大）。假定这一能量差可由静电能之差解释，比较以下两种模型。

模型 I： π\pi 介子为半径 aa 的球。带电 π\pi 介子内部均匀带电，中性 π\pi 介子则完全不带电。

模型 II： 两类 π\pi 介子均由相距同一距离 bb 的两个点电荷组成。带电 π\pi 介子的点电荷为 13e\frac13e 和 23e\frac23e；中性 π\pi 介子由状态 A 与状态 B 叠加表示，状态 A 的点电荷为 13e\frac13e 和 −13e-\frac13e，状态 B 的点电荷为 23e\frac23e 和 −23e-\frac23e。中性 π\pi 介子的静电能是状态 A、B 静电能的算术平均。另假设在虚拟的 b→∞b\to\infty 情况下，带电与中性 π\pi 介子的静电能无差别。

(3) 若模型 I 与模型 II 给出的带电与中性 π\pi 介子的静电能之差相等，求比值 a/ba/b。

III-2B（统计力学）

一个链状分子由 NN 个单元沿直线连接而成。各单元 ii 独立地取 σi=+1\sigma_i=+1 或 −1-1 状态，其长度为 l+σial+\sigma_i a，能量为 ϵ+σiΔ\epsilon+\sigma_i\Delta，其中 l,a,ϵ,Δl,a,\epsilon,\Delta 为常数。用恒定外力 ff 拉伸该分子时，整个系统的能量为

E({σi})=∑i=1N(ϵ+σiΔ)−fL.(A)E(\{\sigma_i\})=\sum_{i=1}^N(\epsilon+\sigma_i\Delta)-fL. \tag{A}

这里

L=∑i=1N(l+σia)L=\sum_{i=1}^N(l+\sigma_i a)

是分子的总长度。以下 A‾\overline A 表示物理量 AA 在温度 TT 的正则分布下的期望值，玻尔兹曼常数为 kBk_B。

(1) 求温度 TT 的正则分布下 σi=1\sigma_i=1 的概率。

(2) 计算 σi\sigma_i 的期望值 σi‾\overline{\sigma_i} 和涨落大小 (σi−σi‾)2‾\overline{(\sigma_i-\overline{\sigma_i})^2}。

(3) 保持温度不变，将外力从 ff 改为 f+δff+\delta f，分子长度的期望值从 L‾\overline L 变为 L‾+δL‾\overline L+\delta\overline L。当 δf\delta f 足够小时，近似有

δL‾≃kδf.(B)\delta\overline L\simeq k\delta f. \tag{B}

求系数 kk。

(4) 将式 (A) 推广为

E({σi})=E0({σi})−fL,E(\{\sigma_i\})=E_0(\{\sigma_i\})-fL,

用分子长度的涨落 (L−L‾)2‾\overline{(L-\overline L)^2} 表示式 (B) 定义的 kk。假定 E0({σi})E_0(\{\sigma_i\}) 不依赖 ff。

Kai​

III-2A​

(1) ガウスの法則から

E(r)=e4πε0{(r/a3)er(r≤a),r−2er(r≥a).\boxed{\boldsymbol E(r)=\frac e{4\pi\varepsilon_0} \begin{cases}(r/a^3)\boldsymbol e_r &(r\leq a),\\r^{-2}\boldsymbol e_r &(r\geq a). \end{cases}}

(2) 内外の場のエネルギーを積分して

U0=ε02∫E2d3r=e28πε0(15a+1a)=3e220πε0a.U_0=\frac{\varepsilon_0}2\int E^2d^3r =\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0}\left(\frac1{5a}+\frac1a\right) =\boxed{\frac{3e^2}{20\pi\varepsilon_0a}}.

(3) 模型 II の差は

ΔUII=e24πε0b[29−12(−19−49)]=e28πε0b.\Delta U_{\mathrm{II}}=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0b} \left[\frac29-\frac12\left(-\frac19-\frac49\right)\right] =\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0b}.

ΔUI=U0\Delta U_{\mathrm I}=U_0 と等置して a/b=6/5\boxed{a/b=6/5}。

III-2B​

βT=1/(kBT)\beta_T=1/(k_BT)、h=fa−Δh=fa-\Delta とおく。一要素の分配関数は z=2e−βT(ϵ−fl)cosh⁡(βTh)z=2e^{-\beta_T(\epsilon-fl)}\cosh(\beta_T h)。

(1) P(σi=1)=eβTh/[2cosh⁡(βTh)]=1/(1+e−2βTh)\boxed{P(\sigma_i=1)=e^{\beta_T h}/[2\cosh(\beta_T h)]=1/(1+e^{-2\beta_T h})}。

(2) σi2=1\sigma_i^2=1 より

σi‾=tanh⁡(βTh),Var⁡(σi)=sech⁡2(βTh).\boxed{\overline{\sigma_i}=\tanh(\beta_T h),\qquad \operatorname{Var}(\sigma_i)=\operatorname{sech}^2(\beta_T h).}

(3) L‾=Nl+Natanh⁡(βTh)\overline L=Nl+Na\tanh(\beta_T h) を微分して

k=(∂L‾∂f)T=Na2kBTsech⁡2fa−ΔkBT.\boxed{k=\left(\frac{\partial\overline L}{\partial f}\right)_T =\frac{Na^2}{k_BT}\operatorname{sech}^2\frac{fa-\Delta}{k_BT}.}

(4) 一般の分配関数 Z=∑e−βT(E0−fL)Z=\sum e^{-\beta_T(E_0-fL)} から、∂flog⁡Z=βTL‾\partial_f\log Z=\beta_T\overline L。さらに微分すると

k=βT(L2‾−L‾ 2)=(L−L‾)2‾kBT.\boxed{k=\beta_T\left(\overline{L^2}-\overline L^{\,2}\right) =\frac{\overline{(L-\overline L)^2}}{k_BT}.}

この導出は要素間の独立性を必要としない。

Reference​

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