京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2018年8月実施 問題III-1

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• 简正模与耦合振子
• 单原子与双原子晶格振动

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

自然長 $a$、バネ定数 $k$ のバネにつながれた複数の質点の運動を考察する。

最初に3個の質点の運動を考える。質点は、図1のように $x$ 軸方向にのみ動くものとし、両端のバネの端は固定されている。また、固定端間の距離は $L=4a$ である。質点の位置を左から $a+x_1$、$2a+x_2$、$3a+x_3$ とおく。ここで、$x_1,x_2,x_3$ はそれぞれの質点の平衡点からの変位を表す。中央の質点の質量を $M$ とし、その他の質点の質量は等しく $m$ とする。以下、$\omega_0=\sqrt{2k/m}$ とする。

(1) 質量 $m$ の2つの質点の位置を固定し、それぞれ $x_1=0$、$x_3=0$ とおく。中央の質点の時刻 $t$ における変位 $x_2(t)$ を求めよ。ただし、$t=0$ における初期条件を $x_2=X$、$dx_2/dt=V$ とせよ。

以下では、小問 (1) で固定した2つの質点を自由に動けるようにし、質点系の連成振動の規準振動を求めよう。規準振動には3つのモードがあり、その規準角振動数の大きさを小さい方から順に $\omega_s,\omega_c,\omega_l$ とする。

(2) 質点の変位 $x_j(t)$（$j=1,2,3$）に対する運動方程式を書け。また、$x_j(t)=A_j\cos\omega t$ とおいて、$\omega_s^2,\omega_c^2,\omega_l^2$ を $\omega_0$ と質量比 $\beta=m/M$ を用いて表せ。ただし、$A_j$ は実の定数である。

(3) それぞれの規準振動に対して、$\beta=1$ の場合に $A_2$ と $A_3$ を $A_1$ を用いて表せ。

(4) 中央の質点の質量 $M$ を変化させる。このとき、$\omega_s^2/\omega_0^2,\omega_c^2/\omega_0^2,\omega_l^2/\omega_0^2$ の変化を図に表せ。ただし、横軸には $\beta$ を用いて、$0\le\beta\le2$ の範囲で描き、$\beta=0$ と $\beta=1$ での値が分かるようにすること。

次に、十分に多数の質点を前問と同一のバネで一直線状につなげる。これらの質点のうち1つの質点の質量を $M$ とし、その他の質点の質量を $m$ とする。簡単のため、図2のように質量が $M$ である質点を0番とする順序を導入する。$n$ 番目の質点に対する平衡点を $x=na$ とし、その点からの変位を $x_n$ とする。

この質量 $M$ の質点を強制的に角振動数 $\omega$ で振動させる。

(5) $n$ 番目の質点の変位を $x_n=\mathrm{Re}[B_ne^{i\omega t}]$ とおく。ただし、$B_n=B_0b^n$ とし、$B_0$ と $b$ は複素定数である。この変位を質量 $m$ の質点の運動方程式に代入し、$b$ を $\omega$ と $\omega_0$ を用いて表せ。また、$|b|\ne1$ となる条件を求めよ。

$|b|=1$ の場合は進行波に、$|b|<1$ の場合は局在波となる。

質量 $M$ の質点の運動を拘束するのをやめて、他の質点と同様に自由に運動させる。$M<m$ の場合に空間的に局在した規準振動が存在する。以下、この規準振動を求めよう。ただし、小問 (5) と同様に $n$ 番目の質点の変位は $x_n=\mathrm{Re}[B_ne^{i\omega t}]$ とおく。

(6) 質量 $M$ の質点に対して、その両側に続く質点の変位 $x_n$ が $|n|$ を大きくするとそれぞれ減衰するように、小問 (5) で得た $b$ の値から適切なものを選ぶ。質量 $M$ の質点の両隣にある質点の変位 $x_{-1}$ と $x_{+1}$ を、選んだ $b$ と $x_0$ を用いて表せ。

ここで得た変位を質量 $M$ の質点の運動方程式に代入し、さらに $b$ を消去することで、規準角振動数 $\omega$ を求めよ。ただし、$\omega_0$ と質量比 $\beta=m/M$ を用いて表せ。また、$m\to\infty$ の極限における $\omega$ の漸近値を求めよ。

小問 (6) で求めた規準振動は、質量 $M$ の質点の振幅が最大で、裾が指数関数的に減衰振動する局在した定在波である。

题目描述

研究由自然长度为 $a$、弹簧常数为 $k$ 的弹簧连接的多个质点的运动。

先考虑三个质点。如图1，质点只能沿 $x$ 轴运动，两端弹簧的端点固定，固定端之间的距离为 $L=4a$。从左到右三个质点的位置分别为 $a+x_1$、$2a+x_2$、$3a+x_3$，其中 $x_1,x_2,x_3$ 是各质点相对于平衡点的位移。中央质点质量为 $M$，其余质点质量均为 $m$。以下定义 $\omega_0=\sqrt{2k/m}$。

(1) 固定两个质量为 $m$ 的质点，使 $x_1=x_3=0$。求中央质点在时刻 $t$ 的位移 $x_2(t)$，初始条件为 $t=0$ 时 $x_2=X$、$dx_2/dt=V$。

以下释放第 (1) 问中固定的两个质点，求质点系统耦合振动的简正振动。共有三个模态，按简正角频率从小到大依次记为 $\omega_s,\omega_c,\omega_l$。

(2) 写出质点位移 $x_j(t)$（$j=1,2,3$）的运动方程。令 $x_j(t)=A_j\cos\omega t$，用 $\omega_0$ 和质量比 $\beta=m/M$ 表示 $\omega_s^2,\omega_c^2,\omega_l^2$，其中 $A_j$ 为实常数。

(3) 对各个简正振动，在 $\beta=1$ 时，用 $A_1$ 表示 $A_2$ 和 $A_3$。

(4) 改变中央质点的质量 $M$，画出 $\omega_s^2/\omega_0^2,\omega_c^2/\omega_0^2,\omega_l^2/\omega_0^2$ 的变化。横轴取 $\beta$，范围为 $0\le\beta\le2$，并清楚标明 $\beta=0$、$\beta=1$ 时的值。

接下来将充分多的质点用与前问相同的弹簧连接成直线。其中一个质点的质量为 $M$，其余质量均为 $m$。如图2，为简单起见，将质量为 $M$ 的质点编号为0。第 $n$ 个质点的平衡位置为 $x=na$，相对于平衡位置的位移为 $x_n$。

强制质量为 $M$ 的质点以角频率 $\omega$ 振动。

(5) 令第 $n$ 个质点的位移为 $x_n=\mathrm{Re}[B_ne^{i\omega t}]$，其中 $B_n=B_0b^n$，$B_0,b$ 为复常数。将此位移代入质量为 $m$ 的质点的运动方程，用 $\omega,\omega_0$ 表示 $b$，并求 $|b|\ne1$ 的条件。

$|b|=1$ 对应行波，$|b|<1$ 对应局域波。

停止对质量为 $M$ 的质点施加运动约束，使它像其余质点一样自由运动。当 $M<m$ 时，存在空间局域的简正振动。以下求这一振动，仍如第 (5) 问令第 $n$ 个质点的位移为 $x_n=\mathrm{Re}[B_ne^{i\omega t}]$。

(6) 从第 (5) 问所得 $b$ 中选择适当的值，使质量为 $M$ 的质点两侧各质点的位移 $x_n$ 随 $|n|$ 增大而分别衰减。用所选 $b$ 和 $x_0$ 表示其左右相邻质点的位移 $x_{-1},x_{+1}$。

将所得位移代入质量为 $M$ 的质点的运动方程，再消去 $b$，求简正角频率 $\omega$，用 $\omega_0$ 和质量比 $\beta=m/M$ 表示。并求 $m\to\infty$ 极限下 $\omega$ 的渐近值。

第 (6) 问的简正振动是一种局域驻波：质量为 $M$ 的质点振幅最大，两侧尾部的振荡振幅按指数衰减。

Kai

(1)–(3)

(1) $M\ddot x_2=-2kx_2$。$\Omega=\sqrt{2k/M}$ とおけば

$$\boxed{x_2=X\cos\Omega t+\frac V\Omega\sin\Omega t.}$$

(2) 運動方程式は

$$\begin{aligned} m\ddot x_1&=k(x_2-2x_1),\\ M\ddot x_2&=k(x_1-2x_2+x_3),\\ m\ddot x_3&=k(x_2-2x_3). \end{aligned}$$

$z=\omega^2/\omega_0^2$ とすると固有方程式は $(z-1)[z^2-(1+\beta)z+\beta/2]=0$。したがって

$$\boxed{\begin{aligned} \frac{\omega_s^2}{\omega_0^2}&=\frac{1+\beta-\sqrt{1+\beta^2}}2,\\ \frac{\omega_c^2}{\omega_0^2}&=1,\\ \frac{\omega_l^2}{\omega_0^2}&=\frac{1+\beta+\sqrt{1+\beta^2}}2. \end{aligned}}$$

(3) $\beta=1$ では順に

$$\boxed{(A_1,A_2,A_3)\propto(1,\sqrt2,1),\ (1,0,-1),\ (1,-\sqrt2,1).}$$

(4)

$\beta=0$ で値は $(0,1,1)$、$\beta=1$ で $(1-1/\sqrt2,1,1+1/\sqrt2)$。上下の枝は単調増加し、中間の枝は一定である。$\beta=0$ は $M\to\infty$ の極限を意味する。

(5)

$n\neq0$ では $m\ddot x_n=k(x_{n-1}-2x_n+x_{n+1})$。$z=\omega^2/\omega_0^2$ とすると

$$b+b^{-1}=2(1-z),\qquad \boxed{b=1-z\pm\sqrt{(1-z)^2-1}.}$$

実周波数では $0\leq z\leq2$ で $|b|=1$、$z>2$ で互いに逆数の負の実根を持つ。従って

$$\boxed{|b|\neq1\ \Longleftrightarrow\ \omega^2>2\omega_0^2.}$$

(6)

$z>2$ では $b=1-z+\sqrt{(1-z)^2-1}$ が $-1<b<0$ を満たす。左右に減衰させるには $B_n=B_0b^{|n|}$ とすればよく、$x_{-1}=x_{+1}=bx_0$。中央の式から $z=\beta(1-b)$。これと (5) を連立すると

$$\boxed{b=-\frac1{2\beta-1},\qquad \omega^2=\frac{2\beta^2}{2\beta-1}\omega_0^2.}$$

局在条件 $|b|<1$ は $\beta>1$、すなわち $M<m$ と一致する。$M,k$ を固定して $m\to\infty$ とすると、周囲は動かなくなり

$$\boxed{\omega\longrightarrow\sqrt{2k/M}.}$$

Reference

• 京都大学公式原題（2019年度、PDF 16–17ページ）