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京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2018年度 問題I-3-AB

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description​

I-3A（物理数学）​

有限個以下の不連続点を持つ絶対積分可能な関数について、フーリエ変換と逆変換を

f~(k)=∫−∞∞f(x)e−ikx dx,f(x)=12π∫−∞∞f~(k)eikx dk\widetilde f(k)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-ikx}\,dx,\qquad f(x)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\widetilde f(k)e^{ikx}\,dk

とする。

  1. ∫−∞∞∣f(x)∣2dx\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|^2dx を f~\widetilde f を用いた一重積分で表せ。δ(x)=(2π)−1∫eikxdk\delta(x)=(2\pi)^{-1}\int e^{ikx}dk を用いてよい。
  2. T>0T>0 とし、f1(x)=1f_1(x)=1（∣x∣≤T|x|\le T）、f1(x)=0f_1(x)=0（∣x∣>T|x|>T）をフーリエ変換せよ。
  3. ∫−∞∞sin⁡2k/k2 dk\int_{-\infty}^{\infty}\sin^2k/k^2\,dk を求めよ。

I-3B（統計熱力学）​

三次元の光子気体は化学ポテンシャル零のボース分布に従う。高温では純粋な光子気体から電子・陽電子対の生成 γ⇄e++e−\gamma\rightleftarrows e^++e^- が可能になる。これらを温度 TT の熱平衡にある理想気体として扱う。電子の質量は mm、運動量の大きさは pp、エネルギーは εp=cp2+m2c2\varepsilon_p=c\sqrt{p^2+m^2c^2}、ボルツマン定数は kBk_B、プランク定数を 2π2\pi で割ったものは ℏ\hbar とする。

  1. 温度 TT、化学ポテンシャル μ−\mu_- の電子数密度

    n−=2(2πℏ)3∫0∞4πp2dpアn_-=\frac2{(2\pi\hbar)^3}\int_0^\infty\frac{4\pi p^2dp}{\boxed{\text{ア}}}

    の空欄を pp の関数で表せ。

  2. この熱平衡にある電子と陽電子の化学ポテンシャルを求めよ。

  3. kBT≫mc2k_BT\gg mc^2 のとき、電子数密度は TT の何乗に比例するか。

  4. 同じ高温極限で、全気体のエネルギー密度を求めよ。∫0∞x3/(ex+1) dx=7π4/120\int_0^\infty x^3/(e^x+1)\,dx=7\pi^4/120、∫0∞x3/(ex−1) dx=π4/15\int_0^\infty x^3/(e^x-1)\,dx=\pi^4/15 を用いてよい。

题目描述​

I-3A： 傅里叶变换与逆变换按上式约定。(1) 将 ∫∣f∣2dx\int|f|^2dx 用频域单积分表示；(2) 求宽度为 2T2T、高度为 11 的矩形函数的变换；(3) 求全实轴上的 sin⁡2k/k2\sin^2k/k^2 积分。可使用题给的狄拉克函数表达式。

I-3B： 三维纯光子气体的化学势为零，高温时可产生电子、正电子对。三种粒子作为温度 TT 下的平衡理想气体处理，电子能量为 cp2+m2c2c\sqrt{p^2+m^2c^2}。(1) 写出电子数密度积分中费米分布的分母；(2) 求电子与正电子的化学势；(3) 在 kBT≫mc2k_BT\gg mc^2 时求数密度的温度幂次；(4) 利用题给的两项积分，求光子、电子和正电子合计的能量密度。

Kai​

I-3A​

(1)​

∫f(x)f(x)∗dx\int f(x)f(x)^*dx に逆変換を代入し、∫ei(k−k′)xdx=2πδ(k−k′)\int e^{i(k-k')x}dx=2\pi\delta(k-k') を用いると

∫−∞∞∣f(x)∣2dx=12π∫−∞∞∣f~(k)∣2dk.\boxed{\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|^2dx =\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|\widetilde f(k)|^2dk.}

有限値の等式としては f∈L2f\in L^2 を仮定する。絶対可積分性だけでは二乗積分の有限性までは保証されない。

(2)​

f~1(k)=∫−TTe−ikxdx=2sin⁡kTk,f~1(0)=2T.\boxed{\widetilde f_1(k)=\int_{-T}^{T}e^{-ikx}dx=\frac{2\sin kT}{k},\qquad \widetilde f_1(0)=2T.}

(3)​

T=1T=1 とし (1) を用いれば

2=12π∫−∞∞4sin⁡2kk2dk,∫−∞∞sin⁡2kk2dk=π.2=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{4\sin^2k}{k^2}dk,\qquad \boxed{\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin^2k}{k^2}dk=\pi.}

I-3B​

(1)​

電子はフェルミ粒子なので

ア=exp⁡ ⁣[cp2+m2c2−μ−kBT]+1.\boxed{\text{ア}=\exp\!\left[\frac{c\sqrt{p^2+m^2c^2}-\mu_-}{k_BT}\right]+1.}

(2)​

反応平衡から μ−+μ+=μγ=0\mu_-+\mu_+=\mu_\gamma=0。純光子から対生成されるため全電荷は零であり、n−=n+n_-=n_+。電子と陽電子は同じ質量・状態密度を持ち、数密度は化学ポテンシャルの単調増加関数なので μ−=μ+\mu_- =\mu_+。したがって

μ−=μ+=0.\boxed{\mu_- =\mu_+=0.}

(3)​

εp≃cp\varepsilon_p\simeq cp とし x=cp/(kBT)x=cp/(k_BT) に変数変換すると

n−=(kBT)3π2ℏ3c3∫0∞x2ex+1dx,n−∝T3.n_-=\frac{(k_BT)^3}{\pi^2\hbar^3c^3}\int_0^\infty\frac{x^2}{e^x+1}dx,\qquad \boxed{n_-\propto T^3.}

(4)​

電子・陽電子はそれぞれスピン縮退度 22、光子は偏光自由度 22 を持つ。したがって

ue−=ue+=7π2120(kBT)4ℏ3c3,uγ=π215(kBT)4ℏ3c3.u_{e^-}=u_{e^+}=\frac{7\pi^2}{120}\frac{(k_BT)^4}{\hbar^3c^3},\qquad u_\gamma=\frac{\pi^2}{15}\frac{(k_BT)^4}{\hbar^3c^3}.

よって全エネルギー密度は

utot=11π260(kBT)4ℏ3c3.\boxed{u_{\rm tot}=\frac{11\pi^2}{60}\frac{(k_BT)^4}{\hbar^3c^3}.}

Reference​

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