京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2018年度 問題I-2

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• 磁偶极子的矢势
• 电磁感应与电感
• 磁力

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

図のように、$z=0$ の $xy$ 平面内に半径 $a$ の円形回路 $C$ を置き、円柱座標の $+\varphi$ 方向に電流 $I(t)$ を流す。$z=z_0>0$ に、同じ半径 $a$、抵抗 $R$、質量 $m$ の金属円環を、中心が $z$ 軸上にあるように水平に置く。重力加速度は $-g\mathbf e_z$。SI 単位系で答えよ。

1. 回路の磁気双極子モーメント $\boldsymbol\mu$ を $\mu_0,a,I$ で表せ。ここで本問の定義は

   $$\mathbf A(\mathbf r)=\frac1{4\pi}\frac{\boldsymbol\mu\times\mathbf r}{r^3}$$

   であり、$\mu_0$ は真空透磁率である。

2. この $\mathbf A$ の回転を計算し、$\mathbf B(\mathbf r)$ を $\boldsymbol\mu$ で表せ。$\nabla\times(f\mathbf A)=f\nabla\times\mathbf A-\mathbf A\times\nabla f$ および三重積の公式を用いてよい。

以下では $z_0\gg a$ とし、$\rho^2+z_0^2\simeq z_0^2$（$0\le\rho\le a$）のように主要項だけを残してよい。

3. 固定した円環に流れる電流 $I^{\rm ring}$ を求め、$dI/dt>0$ のときの向きを述べよ。円環電流による誘導磁場を無視する。

4. 円環が $z$ 方向にだけ滑らかに動くとする。速度 $v_z$ の運動方程式を $a,I,R,g$ を含めて書け。円環の運動に伴う誘導電流は無視する。

5. $dI^2/dt=C_0>0$ とすると電磁力と重力が釣り合った。この高さ $z_0$ を求めよ。

6. $t=0$ 直前に円環がその位置で静止している。非常に短時間で

   $$\frac{dI^2}{dt}=C_0+C_1\delta(t),\qquad C_1>0$$

   と変化させた直後の速度を求めよ。

题目描述

如上方原题图所示，$z=0$ 平面内有半径 $a$ 的圆电路 $C$，电流沿圆柱坐标 $+\varphi$ 方向为正。在其上方 $z_0>0$ 处水平放置同轴、同半径的金属环，电阻为 $R$、质量为 $m$，重力沿 $-z$ 方向。用 SI 单位。

1. 按题给矢势定义求包含 $\mu_0$ 的磁偶极矩。
2. 计算矢势的旋度得到磁感应强度。
3. 在 $z_0\gg a$ 近似下求固定圆环的感应电流及 $dI/dt>0$ 时的方向，忽略圆环电流的自感磁场。
4. 若环只能沿 $z$ 轴移动，写质心运动方程；忽略运动起电流。
5. $dI^2/dt=C_0>0$ 时求重力与电磁力平衡高度。
6. 环原先静止于该高度，在 $t=0$ 施加 $C_1\delta(t)$ 的额外变化，求冲量之后的速度，$C_1>0$。

Kai

(1)

本問では透磁率をモーメントに含める規約なので

$$\boxed{\boldsymbol\mu=\mu_0\pi a^2I\,\mathbf e_z.}$$

(2)

$\nabla\times(\boldsymbol\mu\times\mathbf r)=2\boldsymbol\mu$、$\nabla r^{-3}=-3\mathbf r/r^5$ から、$r\ne0$ において

$$\boxed{\mathbf B=\frac1{4\pi}\left[\frac{3(\boldsymbol\mu\cdot\mathbf r)\mathbf r}{r^5}-\frac{\boldsymbol\mu}{r^3}\right].}$$

(3)

円環を貫く磁束は、$z_0\gg a$ で

$$\Phi\simeq\pi a^2\frac{\mu}{2\pi z_0^3} =\frac{\mu_0\pi a^4}{2z_0^3}I.$$

ファラデーの法則より

$$\boxed{I^{\rm ring}=-\frac1R\frac{d\Phi}{dt} =-\frac{\mu_0\pi a^4}{2Rz_0^3}\frac{dI}{dt}.}$$

$dI/dt>0$ なら $-\varphi$ 方向、すなわち $+z$ 側から見て時計回りである。

(4)

高さ $z$ の円環位置では $B_\rho\simeq3\mu a/(4\pi z^4)$。$\mathbf e_\varphi\times\mathbf e_\rho=-\mathbf e_z$ より

$$F_z=-2\pi aI^{\rm ring}B_\rho =\frac{3\mu_0^2\pi^2a^8}{8Rz^7}\frac{dI^2}{dt}.$$

したがって

$$\boxed{m\frac{dv_z}{dt}=-mg+\frac{3\mu_0^2\pi^2a^8}{8Rz^7}\frac{dI^2}{dt},\qquad \dot z=v_z.}$$

(5)

$$\boxed{z_0=\left(\frac{3\mu_0^2\pi^2a^8C_0}{8Rmg}\right)^{1/7}.}$$

この結果を用いる際も $z_0\gg a$ が必要である。

(6)

極短時間では $z\simeq z_0$。平衡条件を用いると衝撃項は $mg(C_1/C_0)\delta(t)$ となる。前後に積分して

$$\boxed{v_z(0^+)=g\frac{C_1}{C_0}.}$$

方向は上向きである。

Reference

• 京都大学公式問題（2018年度、PDF 4–5ページ）