京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2018年度 問題I-1 Author 祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)
Description 図のように、質量 M M M G G G ℓ \ell ℓ x x x I I I y z yz yz z z z − g e z -g\mathbf e_z − g e z θ \theta θ
軸の位置を固定した場合、軸周りのトルクを θ \theta θ
同じ場合、微小振動の角振動数 ω 0 \omega_0 ω 0
軸が y y y a ( t ) a(t) a ( t ) θ \theta θ
以下は M , ℓ , g , I M,\ell,g,I M , ℓ , g , I ω 0 \omega_0 ω 0
a ( t ) = ϵ g sin Ω t a(t)=\epsilon g\sin\Omega t a ( t ) = ϵ g sin Ω t θ \theta θ Ω ≠ ω 0 \Omega\ne\omega_0 Ω = ω 0 Ω \Omega Ω
Ω ≃ ω 0 \Omega\simeq\omega_0 Ω ≃ ω 0 θ \theta θ ϵ \epsilon ϵ θ \theta θ
θ = θ 1 sin Ω t + θ 3 sin 3 Ω t , ∣ θ 3 ∣ = O ( ∣ θ 1 ∣ 3 ) \theta=\theta_1\sin\Omega t+\theta_3\sin3\Omega t,\qquad
|\theta_3|=O(|\theta_1|^3) θ = θ 1 sin Ω t + θ 3 sin 3Ω t , ∣ θ 3 ∣ = O ( ∣ θ 1 ∣ 3 ) として、θ 1 \theta_1 θ 1
题目描述
如上方原题图所示，质量 M M M x x x y z yz yz ℓ \ell ℓ I I I z z z θ \theta θ
支轴固定时求力矩。
求小振动角频率 ω 0 \omega_0 ω 0
支轴沿 y y y a ( t ) a(t) a ( t )
对 a ( t ) = ϵ g sin Ω t a(t)=\epsilon g\sin\Omega t a ( t ) = ϵ g sin Ω t Ω ≠ ω 0 \Omega\ne\omega_0 Ω = ω 0
保留摆角三次项，但忽略乘有 ϵ \epsilon ϵ θ 3 = O ( θ 1 3 ) \theta_3=O(\theta_1^3) θ 3 = O ( θ 1 3 ) ω 0 \omega_0 ω 0 M , ℓ , g , I M,\ell,g,I M , ℓ , g , I
Kai (1)
重力による回転軸方向のトルクは
τ x = − M g ℓ sin θ . \boxed{\tau_x=-Mg\ell\sin\theta.} τ x = − M g ℓ sin θ . (2)
I θ ¨ = − M g ℓ sin θ ≃ − M g ℓ θ I\ddot\theta=-Mg\ell\sin\theta\simeq-Mg\ell\theta I θ ¨ = − M g ℓ sin θ ≃ − M g ℓ θ
ω 0 = M g ℓ I . \boxed{\omega_0=\sqrt{\frac{Mg\ell}{I}}.} ω 0 = I M g ℓ . (3)
軸とともに動く座標系では、重心に慣性力 − M a ( t ) e y -Ma(t)\mathbf e_y − M a ( t ) e y − M ℓ a ( t ) cos θ -M\ell a(t)\cos\theta − M ℓ a ( t ) cos θ
I θ ¨ = − M g ℓ sin θ − M ℓ a ( t ) cos θ . \boxed{I\ddot\theta=-Mg\ell\sin\theta-M\ell a(t)\cos\theta.} I θ ¨ = − M g ℓ sin θ − M ℓ a ( t ) cos θ . (4)
線形化すると θ ¨ + ω 0 2 θ = − ϵ ω 0 2 sin Ω t \ddot\theta+\omega_0^2\theta=-\epsilon\omega_0^2\sin\Omega t θ ¨ + ω 0 2 θ = − ϵ ω 0 2 sin Ω t
θ p ( t ) = ϵ ω 0 2 Ω 2 − ω 0 2 sin Ω t . \boxed{\theta_{\mathrm p}(t)=\frac{\epsilon\omega_0^2}{\Omega^2-\omega_0^2}\sin\Omega t.} θ p ( t ) = Ω 2 − ω 0 2 ϵ ω 0 2 sin Ω t . (5)
指定の次数では
θ ¨ + ω 0 2 θ − ω 0 2 6 θ 3 = − ϵ ω 0 2 sin Ω t . \ddot\theta+\omega_0^2\theta-\frac{\omega_0^2}{6}\theta^3
=-\epsilon\omega_0^2\sin\Omega t. θ ¨ + ω 0 2 θ − 6 ω 0 2 θ 3 = − ϵ ω 0 2 sin Ω t . θ 3 = θ 1 3 sin 3 Ω t + O ( θ 1 5 ) \theta^3=\theta_1^3\sin^3\Omega t+O(\theta_1^5) θ 3 = θ 1 3 sin 3 Ω t + O ( θ 1 5 ) sin 3 u = ( 3 sin u − sin 3 u ) / 4 \sin^3u=(3\sin u-\sin3u)/4 sin 3 u = ( 3 sin u − sin 3 u ) /4
( ω 0 2 − Ω 2 ) θ 1 − ω 0 2 8 θ 1 3 = − ϵ ω 0 2 . (\omega_0^2-\Omega^2)\theta_1-\frac{\omega_0^2}{8}\theta_1^3=-\epsilon\omega_0^2. ( ω 0 2 − Ω 2 ) θ 1 − 8 ω 0 2 θ 1 3 = − ϵ ω 0 2 . したがって
ω 0 2 8 θ 1 3 + ( Ω 2 − ω 0 2 ) θ 1 − ϵ ω 0 2 = 0. \boxed{\frac{\omega_0^2}{8}\theta_1^3+(\Omega^2-\omega_0^2)\theta_1-\epsilon\omega_0^2=0.} 8 ω 0 2 θ 1 3 + ( Ω 2 − ω 0 2 ) θ 1 − ϵ ω 0 2 = 0. 近共鳴でも振幅を決める三次項が残り、Ω = ω 0 \Omega=\omega_0 Ω = ω 0 θ 1 3 = 8 ϵ \theta_1^3=8\epsilon θ 1 3 = 8 ϵ
Reference 