京都大学理学研究科物理学・宇宙物理学専攻 2018年度問題II-3-AB

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

II-3A（力学）

質量 $m$ の質点が、十分重く静止している質量 $M$ の重力中心の周りを運動する。万有引力定数を $G$ 、無限遠のポテンシャルを零とする。

中心からの位置を $\mathbf r$ 、 $r=|\mathbf r|$ としてラグランジアンを書け。
速度の二乗を平面極座標で表せ。運動方程式を導き、角運動量の大きさ $\ell$ の保存を示せ。
保存エネルギー $E$ と角運動量 $\ell$ を定数とし、動径運動エネルギー $m\dot r^2/2$ を $r$ の関数で表せ。動径運動が許される領域と折返し条件を用い、質点が束縛され楕円軌道を描くエネルギー範囲を、与えられた $\ell$ に対して求めよ。

II-3B（電磁気学）

図のような直角座標系をとり、真空中に $x$ 軸と平行な一様外部電場 $\mathbf E=E\mathbf e_x$ を加え、原点に同方向の電気双極子 $\mathbf p=p\mathbf e_x$ を置く。真空誘電率を $\epsilon_0$ とし、SI 単位系で答えよ。

一様電場・電気双極子と球状等電位面（原題図）

双極子の周囲にある球状の等電位面の半径 $a$ を $p,E$ で求めよ。
この半径 $a$ の帯電していない、厚さを無視できる導体球殻を原点中心に置く。球殻外表面の電荷密度 $\sigma(\theta)$ を求めよ。 $\theta$ は $+x$ 軸から測る角度である。

题目描述

II-3A： 质量 $m$ 的粒子受静止重天体 $M$ 的引力作用，万有引力常数为 $G$ ，无穷远势能为零。(1) 写拉格朗日量；(2) 用平面极坐标写速度平方与运动方程，证明角动量 $\ell$ 守恒；(3) 用能量和角动量写径向动能，利用允许区与径向转折条件，求给定 $\ell$ 时束缚椭圆轨道的能量范围。

II-3B： 如该小题原图所示，真空中有沿 $+x$ 的均匀电场 $E$ ，原点放置同向电偶极矩 $p$ 。(1) 求其周围球形等势面的半径 $a$ ；(2) 在该处放置不带净电荷、可忽略厚度的导体球壳，求外表面电荷密度。极角从 $+x$ 轴起算，使用 SI 单位。

Kai

II-3A

(1)

\boxed{L=\frac m2|\dot{\mathbf r}|^2+\frac{GMm}{r}.}

(2)

$|\dot{\mathbf r}|^2=\dot r^2+r^2\dot\theta^2$ なので

m\ddot r=mr\dot\theta^2-\frac{GMm}{r^2},\qquad \frac d{dt}(mr^2\dot\theta)=0.

したがって $\boxed{\ell=|mr^2\dot\theta|=\text{const.}}$ 。

(3)

\boxed{\frac12m\dot r^2=E-U_{\rm eff}(r),\qquad U_{\rm eff}(r)=\frac{\ell^2}{2mr^2}-\frac{GMm}{r}.}

$\ell>0$ とすると $U_{\rm eff}$ の最小位置と値は

r_c=\frac{\ell^2}{GMm^2},\qquad U_{\min}=-\frac{G^2M^2m^3}{2\ell^2}.

負のエネルギーで有限な二つの動径折返し点を持つので、非円形の楕円軌道の条件は

\boxed{-\frac{G^2M^2m^3}{2\ell^2}<E<0.}

左端の等号は円軌道であり、円も楕円に含める場合には $U_{\min}\le E<0$ とする。動径の折返し点は近日点・遠日点である。

II-3B

(1)

球座標の極軸を $x$ 軸に取ると、電位は

V(r,\theta)=\left(\frac{p}{4\pi\epsilon_0r^2}-Er\right)\cos\theta.

$r=a$ で $\theta$ に依存しないためには括弧が零となる。よって

\boxed{a=\left(\frac{p}{4\pi\epsilon_0E}\right)^{1/3}.}

(2)

球殻がもともとの等電位面と一致するため、外部の電位は上式のままで境界条件を満たす。外側の法線電場は

E_r(a^+,\theta)=-\left.\partial_rV\right|_{r=a} =\left(\frac{2p}{4\pi\epsilon_0a^3}+E\right)\cos\theta=3E\cos\theta.

導体内部の電場は零なので

\boxed{\sigma(\theta)=\epsilon_0E_r(a^+,\theta)=3\epsilon_0E\cos\theta.}

球面積分は零であり、球殻の正味電荷が零という条件とも両立する。

Reference

京都大学公式問題（2018年度、PDF 6–7ページ）

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Description​

II-3A（力学）​

II-3B（電磁気学）​

题目描述​

Kai​

II-3A​

(1)​

(2)​

(3)​

II-3B​