跳到主要内容

京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2018年度 問題II-2

标签：

Author​

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description​

一次元イジング模型

H=−J∑i=1Nσiσi+1−H∑i=1Nσi,σi=±1,J>0,H≥0\mathcal H=-J\sum_{i=1}^N\sigma_i\sigma_{i+1}-H\sum_{i=1}^N\sigma_i,\qquad \sigma_i=\pm1,\quad J>0,\quad H\ge0

を考える。β=(kBT)−1\beta=(k_BT)^{-1}、j=βJj=\beta J、h=βHh=\beta H とし、無次元ハミルトニアンを

H~N(j,h)=−j∑i=1Nσiσi+1−h2∑i=1N(σi+σi+1)\widetilde{\mathcal H}_N(j,h)=-j\sum_{i=1}^N\sigma_i\sigma_{i+1} -\frac h2\sum_{i=1}^N(\sigma_i+\sigma_{i+1})

と書く。

  1. 三つのスピンについて、中央のスピンだけを和に取ると

    ∑σ2=±1exp⁡[j(σ1σ2+σ2σ3)+h2(σ1+2σ2+σ3)]=Aexp⁡[j′σ1σ3+h′2(σ1+σ3)]\sum_{\sigma_2=\pm1}\exp\left[j(\sigma_1\sigma_2+\sigma_2\sigma_3)+\frac h2(\sigma_1+2\sigma_2+\sigma_3)\right] =A\exp\left[j'\sigma_1\sigma_3+\frac{h'}2(\sigma_1+\sigma_3)\right]

    と書ける。(σ1,σ3)=(1,1),(1,−1),(−1,1),(−1,−1)(\sigma_1,\sigma_3)=(1,1),(1,-1),(-1,1),(-1,-1) を代入し、e4j′,e4h′e^{4j'},e^{4h'} を j,hj,h で表せ。AA は求めなくてよい。

  2. x=e−4j,y=e−2hx=e^{-4j},y=e^{-2h}、x′=e−4j′,y′=e−2h′x'=e^{-4j'},y'=e^{-2h'} として、x′,y′x',y' を x,yx,y で表せ。

周期境界条件 σi+N=σi\sigma_{i+N}=\sigma_i を課し、N=2nN=2n、nn は十分大きいとする。偶数サイトのスピンを和に取ると

ZN=AN/2ZN/2′,ZN/2′=∑{σk}e−H~N/2(j′,h′)Z_N=A^{N/2}Z'_{N/2},\qquad Z'_{N/2}=\sum_{\{\sigma_k\}}e^{-\widetilde{\mathcal H}_{N/2}(j',h')}

となる。この操作でパラメータが変わらない点を固定点と呼ぶ。

  1. 固定点 (x,y)=(0,1)(x,y)=(0,1) は、磁場を零にしてから低温極限を取る状態に対応する。その他の固定点と、それらに対応する温度を述べよ。
  2. (0,1)(0,1) の近傍で、(a) x=ϵ,y=1x=\epsilon,y=1、(b) x=0,y=1−ϵx=0,y=1-\epsilon（0<ϵ≪10<\epsilon\ll1）が、この操作で固定点に近づくか離れるか述べよ。

题目描述​

一维铁磁伊辛模型如上，J>0J>0、H≥0H\ge0，自旋为 ±1\pm1。令 j=J/(kBT),h=H/(kBT)j=J/(k_BT),h=H/(k_BT)，把每个磁场项平分到相邻键。

  1. 对三自旋系统消去中间自旋，代入端点四种组合，求有效耦合和场的 e4j′,e4h′e^{4j'},e^{4h'}，无需求比例因子 AA。
  2. 以 x=e−4j,y=e−2hx=e^{-4j},y=e^{-2h} 表示重整化后的 x′,y′x',y'。
  3. 对偶数长度周期链消去全部偶数位自旋，得到同型模型。求除了零场零温点 (0,1)(0,1) 之外的固定点及对应温度。
  4. 从 (ϵ,1)(\epsilon,1) 和 (0,1−ϵ)(0,1-\epsilon) 出发，判断重整化会接近还是远离 (0,1)(0,1)，其中 ϵ>0\epsilon>0 很小。

Kai​

(1)​

端点の組合せについて

Aej′+h′=2ehcosh⁡(2j+h),Ae−j′=2cosh⁡h,Aej′−h′=2e−hcosh⁡(2j−h).Ae^{j'+h'}=2e^h\cosh(2j+h),\quad Ae^{-j'}=2\cosh h,\quad Ae^{j'-h'}=2e^{-h}\cosh(2j-h).

よって

e4j′=cosh⁡(2j+h)cosh⁡(2j−h)cosh⁡2h,\boxed{e^{4j'}=\frac{\cosh(2j+h)\cosh(2j-h)}{\cosh^2h},}
e4h′=e4h[cosh⁡(2j+h)cosh⁡(2j−h)]2.\boxed{e^{4h'}=e^{4h}\left[\frac{\cosh(2j+h)}{\cosh(2j-h)}\right]^2.}

(2)​

指数関数に直して整理すると

x′=x(1+y)2(x+y)(1+xy),y′=y(x+y)1+xy.\boxed{x'=\frac{x(1+y)^2}{(x+y)(1+xy)},\qquad y'=\frac{y(x+y)}{1+xy}.}

(3)​

0≤x,y≤10\le x,y\le1 とする。y>0y>0 では y′=yy'=y から

x+y=1+xy,(1−x)(1−y)=0.x+y=1+xy,\qquad (1-x)(1-y)=0.

x=1x=1 なら任意の yy について x′=1,y′=yx'=1,y'=y。y=1y=1 なら x′=4x/(1+x)2=xx'=4x/(1+x)^2=x より x=0,1x=0,1。また y=0,x>0y=0,x>0 では (x′,y′)=(1,0)(x',y')=(1,0)。したがって、写像が定義される領域での固定点は

(0,1),(1,y)(0≤y≤1).\boxed{(0,1),\qquad (1,y)\quad(0\le y\le1).}

固定した J>0J>0 に対し、x=1x=1 は T→∞T\to\infty に対応する。HH も有限に固定すれば y=1y=1 となるが、H/TH/T を一定にして極限を取れば 0<y<10<y<1 の固定線上の点を表せる。端点 (1,0)(1,0) は無限大の無次元磁場を持つ独立スピンの飽和状態である。

境界点 (0,0)(0,0) は T→0T\to0、正磁場で現れうるが、上の座標による写像はそこで 0/00/0 になる。x=0x=0 の境界から近づくと x′→0x'\to0、y=0y=0 の境界から近づくと x′→1x'\to1 であり、極限の取り方なしに一意の固定点とは呼べない。

(4)​

(a) x=ϵ,y=1x=\epsilon,y=1 なら

x′=4ϵ(1+ϵ)2=4ϵ+O(ϵ2),y′=1.x'=\frac{4\epsilon}{(1+\epsilon)^2}=4\epsilon+O(\epsilon^2),\qquad y'=1.

xx が増大するため固定点から離れる。

(b) x=0,y=1−ϵ>0x=0,y=1-\epsilon>0 なら

x′=0,y′=y2=1−2ϵ+O(ϵ2).x'=0,\qquad y'=y^2=1-2\epsilon+O(\epsilon^2).

1−y1-y が増大するため、こちらも固定点から離れる。

Reference​

本页目录