京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2018年度 問題II-1

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• WKB近似
• 谐振子基态

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

一次元ハミルトニアン

$$H=\frac{p^2}{2m}+V(x),\qquad V(x)=\frac{m\omega^2}{2}x^2(1-gx)^2$$

を考える。$g>0$、$m>0$ で、$x=0,g^{-1}$ に二つの井戸がある。基底エネルギーは障壁の高さより十分低いものとし、$g$ に対する摂動論的補正を捨て、トンネル効果による補正を

$$E=\hbar\omega(\nu+1/2)$$

で表す。領域 I、II および転回点 $a,b$ は図のようにとる。

1. $|x|\ll g^{-1}$ の領域 I では $V(x)\simeq m\omega^2x^2/2$。この領域で、$x\to-\infty$ で零に収束するシュレディンガー方程式の解を求めよ。規格化定数を $A$ とし、特殊関数

   $$D_\lambda''(z)+\left(\lambda+\frac12-\frac{z^2}{4}\right)D_\lambda(z)=0$$

   を用いよ。$z\gg1$、$\lambda$ が非負整数でない場合の漸近形として、原問では

   $$D_\lambda(z)\simeq z^\lambda e^{-z^2/4},\qquad D_\lambda(-z)\simeq(-z)^\lambda e^{-z^2/4} +\frac{\sqrt{2\pi}}{\Gamma(-\lambda)}z^{-\lambda-1}e^{z^2/4}$$

   が与えられている。

障壁内の領域 II では $k(x)=\sqrt{2m(V(x)-E)}$ とし、

$$\psi\simeq\frac{C_1}{\sqrt{k(x)}}\exp\!\left(\frac1\hbar\int_a^xk(y)dy\right) +\frac{C_2}{\sqrt{k(x)}}\exp\!\left(-\frac1\hbar\int_a^xk(y)dy\right).$$

ここで $a$ は左井戸と障壁の間の転回点 $V(a)=E$、$b=g^{-1}-a$ は右側の転回点であり、基底状態の対称性より

$$\frac{C_1}{C_2}=\exp\!\left(-\frac1\hbar\int_a^bk(y)dy\right)$$

である。

2. $a\ll x\ll(a^2/g)^{1/3}$ において

   $$\psi\simeq B_1x^{\gamma_1}e^{m\omega x^2/(2\hbar)}+B_2x^{\gamma_2}e^{-m\omega x^2/(2\hbar)}$$

   と書いたとき、$B_i,\gamma_i$ を $C_i,E$ で表せ。$a\simeq\sqrt{2E/(m\omega^2)}$、$\int_a^xk(y)dy\simeq\int_a^x[m\omega y-E/(\omega y)]dy$ を用いてよい。

3. 領域 I と II の重なりで漸近形を接続し、$C_1/C_2$ を $\nu$ で表せ。

4. $s=g^2\hbar/(m\omega)\ll1$ のとき $\nu$ を求めよ。$\Gamma(-\nu)\simeq-1/\nu$ および

   $$\exp\!\left(-\frac1\hbar\int_a^bk(y)dy\right) \simeq e^{-1/(6s)}e^{2E/(\hbar\omega)}s^{-E/(\hbar\omega)} \left(\frac{2E}{\hbar\omega}\right)^{-E/(\hbar\omega)}$$

   を用いてよい。

题目描述

一维双阱势 $V(x)=m\omega^2x^2(1-gx)^2/2$ 在 $0$ 和 $g^{-1}$ 有极小值，$g>0$。基态能量远低于势垒，忽略关于 $g$ 的微扰修正，只求隧穿修正 $E=\hbar\omega(\nu+1/2)$。区域 I、II 及转向点 $a,b$ 见上方原题图。

1. 在左井附近用谐振子势近似，借助题给的抛物柱函数及其渐近式，求向负无穷衰减的波函数。
2. 在势垒内采用题给 WKB 表达式，转向点为 $a,b=g^{-1}-a$；基态对称性给出 $C_1/C_2=e^{-\int_a^b k/\hbar}$。在重叠区 $a\ll x\ll(a^2/g)^{1/3}$ 求增长项、衰减项的幂次与系数，可使用给定积分近似。
3. 接续两种渐近解，求系数比与 $\nu$ 的关系。
4. 在 $s=g^2\hbar/(m\omega)\ll1$ 时，使用题给的势垒积分与伽马函数近似求 $\nu$。

Kai

(1)

$z=\alpha x$、$\alpha=\sqrt{2m\omega/\hbar}$ とおくと

$$\frac{d^2\psi}{dz^2}+\left(\nu+\frac12-\frac{z^2}{4}\right)\psi=0.$$

$x\to-\infty$ で減衰する解を選び、

$$\boxed{\psi_{\rm I}(x)=A D_\nu(-\alpha x).}$$

(2)

$q=E/(\hbar\omega)=\nu+1/2$ とおく。題意の積分近似から

$$\frac1\hbar\int_a^xk(y)dy\simeq\frac{m\omega x^2}{2\hbar}-q-q\ln\frac xa,\qquad k(x)\simeq m\omega x.$$

したがって

$$\boxed{\gamma_1=-q-\frac12=-\nu-1,\qquad B_1=\frac{C_1}{\sqrt{m\omega}}e^{-q}a^q,}$$

$$\boxed{\gamma_2=q-\frac12=\nu,\qquad B_2=\frac{C_2}{\sqrt{m\omega}}e^qa^{-q},\qquad a\simeq\sqrt{\frac{2E}{m\omega^2}}.}$$

(3)

実波動関数を用いると、実軸上の $D_\nu(-z)$ の減衰項係数は $\cos\pi\nu$ となる。したがって成長・減衰項の係数比は

$$\frac{B_1}{B_2}=\frac{\sqrt{2\pi}}{\Gamma(-\nu)\cos\pi\nu}\alpha^{-2q}.$$

(2) の $B_1/B_2=(C_1/C_2)e^{-2q}a^{2q}$ と $\alpha a=2\sqrt q$ を用いれば

$$\boxed{\frac{C_1}{C_2}=\frac{\sqrt{2\pi}}{\Gamma(-\nu)\cos\pi\nu} \left[\frac{e^2}{4(\nu+1/2)}\right]^{\nu+1/2}.}$$

題文の $(-z)^\nu$ という表記を形式的にそのまま使う場合には $\cos\pi\nu$ を $(-1)^\nu$ に置き換えた式となる。ここで必要な $\nu\to0$ の主要項ではいずれの係数も $1$ である。

(4)

対称性による係数比と比較し、共通する $e^{2q}$ を消去すると

$$\frac1{\Gamma(-\nu)\cos\pi\nu} \simeq\frac1{\sqrt{2\pi}}\left(\frac2s\right)^q e^{-1/(6s)}.$$

左辺は $-\nu+O(\nu^2)$、右辺の冪では $q\simeq1/2$ としてよい。ゆえに

$$\boxed{\nu\simeq-\frac1{\sqrt{\pi s}}e^{-1/(6s)} =-\sqrt{\frac{m\omega}{\pi g^2\hbar}}\exp\!\left[-\frac{m\omega}{6g^2\hbar}\right].}$$

対称な基底状態はトンネル効果によってエネルギーが下がる。

Reference

• 京都大学公式問題（2018年度、PDF 2–3ページ）