京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2018年度 問題III-1

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• 回旋运动
• 拉莫尔定理
• 德布罗意波长

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

電荷 $-e$、質量 $m$ の電子が、一様磁束密度 $\mathbf B=(0,0,B)$（$B>0$）に垂直な面で運動する。直角座標系と SI 単位系を用いる。

1. 電子のサイクロトロン運動の角振動数 $\omega_c$ を求めよ。

次に磁場がない場合、原点に静止した陽子（電荷 $+e$）の周りを電子が公転する古典的な水素模型を考える。陽子は電子より十分重いものとする。

2. 半径 $r$ の円軌道の角振動数 $\omega_0$ を求めよ。真空誘電率を $\epsilon_0$ とする。
3. 電子の物質波の波長は $\lambda=h/(mv)$ である。最小軌道長 $2\pi r$ が $\lambda$ に等しいことから、最小半径（ボーア半径）$r_B$ を求めよ。

この水素模型に $\mathbf B=(0,0,B)$ を加え、$xy$ 平面内の運動を考える。

4. 電子の運動方程式を直角座標で書け。
5. 弱磁場 $\omega_c\ll\omega_0$ で、半径 $r$ は一定として、二つの回転方向の角振動数が $\omega_0\pm\delta\omega$ となるときの $\delta\omega$ を求めよ。これはゼーマン効果の最も簡単な古典模型である。

题目描述

电荷 $-e$、质量 $m$ 的电子在均匀磁场 $\mathbf B=(0,0,B)$（$B>0$）的垂直平面内运动，用 SI 单位。

1. 求回旋角频率。
2. 撤去磁场，电子绕原点处静止的质子以半径 $r$ 作圆周运动，求角频率。
3. 利用物质波波长 $\lambda=h/(mv)$ 及最小轨道周长 $2\pi r=\lambda$，求玻尔半径。
4. 对这一原子模型加回磁场，写出 $xy$ 平面内的直角坐标运动方程。
5. 在弱磁场且半径固定的近似下，求正反转动频率相对无场值的偏移 $\delta\omega$。

Kai

(1)

ローレンツ力 $-e\mathbf v\times\mathbf B$ が向心力となり、$mv\omega_c=evB$。したがって

$$\boxed{\omega_c=\frac{eB}{m}.}$$

(2)

$$mr\omega_0^2=\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0r^2},\qquad \boxed{\omega_0=\sqrt{\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0mr^3}}.}$$

(3)

$2\pi r=h/(mv)$ は $mvr=\hbar$ に等しい。これと $mv^2/r=e^2/(4\pi\epsilon_0r^2)$ から

$$\boxed{r_B=\frac{4\pi\epsilon_0\hbar^2}{me^2}=\frac{\epsilon_0h^2}{\pi me^2}.}$$

(4)

クーロン力は中心向き、$-e\mathbf v\times\mathbf B=(-eB\dot y,eB\dot x,0)$ なので

$$\boxed{m\ddot x=-\frac{e^2x}{4\pi\epsilon_0r^3}-eB\dot y,\qquad m\ddot y=-\frac{e^2y}{4\pi\epsilon_0r^3}+eB\dot x,}$$

ここで $r=\sqrt{x^2+y^2}$ である。

(5)

$r$ を固定して $z=x+iy$ とおけば

$$\ddot z-i\omega_c\dot z+\omega_0^2z=0.$$

$z\propto e^{i\Omega t}$ とすると $\Omega^2-\omega_c\Omega-\omega_0^2=0$。二つの回転方向の正の角振動数は

$$\omega_\pm=\sqrt{\omega_0^2+\frac{\omega_c^2}{4}}\pm\frac{\omega_c}{2} =\omega_0\pm\frac{\omega_c}{2}+O\!\left(\frac{\omega_c^2}{\omega_0}\right).$$

したがって

$$\boxed{\delta\omega=\frac{\omega_c}{2}=\frac{eB}{2m}.}$$

Reference

• 京都大学公式問題（2018年度、PDF 2ページ）