京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2017年8月実施 問題I-3-AB

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• 京都大学
• 帕塞瓦尔恒等式
• 傅里叶变换
• 巨正则系综与费米–狄拉克分布
• 光子气体与斯特藩–玻尔兹曼定律

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

I-3A（物理数学）

たかだか有限個の不連続点を持つ絶対積分可能な関数 $f(x)$ のフーリエ変換 $\widetilde f(k)$ は

$$\widetilde f(k)=\int_{-\infty}^{\infty}dx\,f(x)e^{-ikx}\tag{A}$$

で与えられる。一方、フーリエ逆変換は

$$f(x)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}dk\,\widetilde f(k)e^{+ikx}\tag{B}$$

で与えられる。以下の問いに答えよ。

(1) 以下の積分を $\widetilde f(k)$ を用いた一重積分の形で求めよ。

$$\int_{-\infty}^{\infty}dx\,|f(x)|^2\tag{C}$$

［ヒント］以下に示すフーリエ変換を用いたデルタ関数の表示を用いてもよい。

$$\delta(x)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}dk\,e^{ikx}\tag{D}$$

(2) $T$ を正の実数として、以下のように定義される関数

$$f_1(x)=\begin{cases}1&(|x|\le T)\\0&(|x|>T)\end{cases}\tag{E}$$

をフーリエ変換せよ。

(3) 以下の積分を求めよ。

$$\int_{-\infty}^{\infty}dk\,\frac{\sin^2k}{k^2}\tag{F}$$

［ヒント］前問の結果を用いて求めることもできる。

I-3B（統計熱力学）

三次元空間で、化学ポテンシャル0のボース・アインシュタイン分布をしている光子気体を考える。高温では、純粋な光子気体から電子陽電子対の生成

$$\gamma\rightleftarrows e^++e^-\tag{A}$$

が可能になる。これらが温度 $T$ の熱平衡状態にある理想気体とみなせるとして以下の問に答えよ。ただし、電子の運動量の大きさを $p$、電子の質量を $m$、光速を $c$、ボルツマン定数を $k_B$、プランク定数を $2\pi$ で割ったものを $\hbar$ とせよ。また、電子のエネルギーは $c\sqrt{p^2+m^2c^2}$ で与えられる。

(1) 温度 $T$、化学ポテンシャル $\mu_-$ を持つ自由電子の数密度は、

$$n_-=\frac2{(2\pi\hbar)^3}\int_0^\infty\frac{4\pi p^2dp}{\boxed{\text{ア}}}\tag{B}$$

と書ける。$\boxed{\text{ア}}$ に入る表式を運動量の大きさ $p$ の関数で表せ。

(2) 上記の熱平衡状態にある電子および陽電子気体のそれぞれの化学ポテンシャルを求めよ。

ここで、温度が十分高く、$k_BT\gg mc^2$ を満たすとして、以下の問に答えよ。

(3) 上記の熱平衡状態にある電子の数密度が温度 $T$ の何乗に比例するかを答えよ。

(4) 上記の熱平衡状態にある気体の全エネルギー密度を求めよ。ここで、

$$\int_0^\infty\frac{x^3}{e^x+1}\,dx=\frac{7\pi^4}{120},\qquad \int_0^\infty\frac{x^3}{e^x-1}\,dx=\frac{\pi^4}{15}$$

を用いてよい。

题目描述

I-3A（物理数学）

对于至多有有限个不连续点、绝对可积的函数 $f(x)$，其傅里叶变换 $\widetilde f(k)$ 为

$$\widetilde f(k)=\int_{-\infty}^{\infty}dx\,f(x)e^{-ikx},\tag{A}$$

逆傅里叶变换为

$$f(x)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}dk\,\widetilde f(k)e^{+ikx}.\tag{B}$$

回答以下问题。

(1) 将下列积分表示为使用 $\widetilde f(k)$ 的一重积分：

$$\int_{-\infty}^{\infty}dx\,|f(x)|^2.\tag{C}$$

提示：可以使用下列δ函数的傅里叶表示：

$$\delta(x)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}dk\,e^{ikx}.\tag{D}$$

(2) 设 $T$ 为正实数，求下列函数的傅里叶变换：

$$f_1(x)=\begin{cases}1&(|x|\le T)\\0&(|x|>T).\end{cases}\tag{E}$$

(3) 求积分

$$\int_{-\infty}^{\infty}dk\,\frac{\sin^2k}{k^2}.\tag{F}$$

提示：也可以利用上一问的结果求解。

I-3B（统计热力学）

考虑三维空间中服从化学势为0的玻色–爱因斯坦分布的光子气体。高温下，纯光子气体可以发生电子–正电子对的产生：

$$\gamma\rightleftarrows e^++e^-.\tag{A}$$

将这些粒子视为在温度 $T$ 下处于热平衡的理想气体，回答以下问题。电子动量的大小记为 $p$，电子质量为 $m$，光速为 $c$，玻尔兹曼常数为 $k_B$，普朗克常数除以 $2\pi$ 为 $\hbar$。电子的能量为 $c\sqrt{p^2+m^2c^2}$。

(1) 温度为 $T$、化学势为 $\mu_-$ 的自由电子数密度可写为

$$n_-=\frac2{(2\pi\hbar)^3}\int_0^\infty\frac{4\pi p^2dp}{\boxed{\text{ア}}}.\tag{B}$$

将空格 $\boxed{\text{ア}}$ 中的表达式表示为动量大小 $p$ 的函数。

(2) 求上述热平衡状态下电子气体和正电子气体各自的化学势。

以下假设温度充分高，满足 $k_BT\gg mc^2$，回答后续问题。

(3) 上述热平衡状态下的电子数密度与温度 $T$ 的几次方成正比？

(4) 求上述热平衡气体的总能量密度。可以使用

$$\int_0^\infty\frac{x^3}{e^x+1}\,dx=\frac{7\pi^4}{120},\qquad \int_0^\infty\frac{x^3}{e^x-1}\,dx=\frac{\pi^4}{15}.$$

Kai

I-3A

(1)

$\int f(x)f(x)^*dx$ に逆変換を代入し、$\int e^{i(k-k')x}dx=2\pi\delta(k-k')$ を用いると

$$\boxed{\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|^2dx =\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|\widetilde f(k)|^2dk.}$$

有限値の等式としては $f\in L^2$ を仮定する。絶対可積分性だけでは二乗積分の有限性までは保証されない。

(2)

$$\boxed{\widetilde f_1(k)=\int_{-T}^{T}e^{-ikx}dx=\frac{2\sin kT}{k},\qquad \widetilde f_1(0)=2T.}$$

(3)

$T=1$ とし (1) を用いれば

$$2=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{4\sin^2k}{k^2}dk,\qquad \boxed{\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin^2k}{k^2}dk=\pi.}$$

I-3B

(1)

電子はフェルミ粒子なので

$$\boxed{\text{ア}=\exp\!\left[\frac{c\sqrt{p^2+m^2c^2}-\mu_-}{k_BT}\right]+1.}$$

(2)

反応平衡から $\mu_-+\mu_+=\mu_\gamma=0$。純光子から対生成されるため全電荷は零であり、$n_-=n_+$。電子と陽電子は同じ質量・状態密度を持ち、数密度は化学ポテンシャルの単調増加関数なので $\mu_- =\mu_+$。したがって

$$\boxed{\mu_- =\mu_+=0.}$$

(3)

$\varepsilon_p\simeq cp$ とし $x=cp/(k_BT)$ に変数変換すると

$$n_-=\frac{(k_BT)^3}{\pi^2\hbar^3c^3}\int_0^\infty\frac{x^2}{e^x+1}dx,\qquad \boxed{n_-\propto T^3.}$$

(4)

電子・陽電子はそれぞれスピン縮退度 $2$、光子は偏光自由度 $2$ を持つ。したがって

$$u_{e^-}=u_{e^+}=\frac{7\pi^2}{120}\frac{(k_BT)^4}{\hbar^3c^3},\qquad u_\gamma=\frac{\pi^2}{15}\frac{(k_BT)^4}{\hbar^3c^3}.$$

よって全エネルギー密度は

$$\boxed{u_{\rm tot}=\frac{11\pi^2}{60}\frac{(k_BT)^4}{\hbar^3c^3}.}$$

Reference

• 京都大学公式問題（2018年度、PDF 6–7ページ）