京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2017年8月実施 問題I-2

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• 磁偶极子的矢势
• 电磁感应与电感
• 磁力

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

図に示すように、$z=0$ に水平（$xy$ 平面内）に置かれた半径 $a$ の円形回路 $C$ に時間変化する電流 $I(t)$ を流す（ここで、$z$ 軸を中心軸とする円柱座標系の $+\phi$ 方向を正の向きとする）。また、$z=z_0$（$z_0>0$）に円形回路と同じ半径 $a$ の金属で作られた円環を水平に置く。円環の中心は $z$ 軸に一致している。ただし、重力加速度は $-z$ 方向に $g$ で与えられるものとする。なお、解答は SI 単位系で述べよ。

(1) 円形回路 $C$ の磁気双極子モーメント $\vec\mu$ を、$\mu_0,a,I$ を用いて表せ。ただし、$\mu_0$ は真空中での透磁率である。

(2) この円電流により発生する、位置 $\vec r$ でのベクトルポテンシャル $\vec A(\vec r)$ は、磁気双極子モーメント $\vec\mu$ を用いて

$$\vec A(\vec r)=\frac1{4\pi}\left(\frac{\vec\mu\times\vec r}{r^3}\right)\tag{A}$$

と書ける。$\vec B(\vec r)=\nabla\times\vec A(\vec r)$ を計算することで得られる磁束密度 $\vec B(\vec r)$ を、磁気双極子モーメント $\vec\mu$ を用いて表せ。ここで、

$$\nabla\times(f\vec A)=f(\nabla\times\vec A)-\vec A\times(\nabla f),\tag{B}$$

$$\vec A\times(\vec B\times\vec C)=\vec B(\vec A\cdot\vec C)-\vec C(\vec A\cdot\vec B)\tag{C}$$

（$\vec A,\vec B,\vec C$ はベクトル、$f$ はスカラー）等を用いても良い。

以降の小問では、$z_0\gg a$ であるとし、$\rho^2+z_0^2\approx z_0^2$（ただし、$\rho$ は $z$ 軸からの距離であり、$0\le\rho\le a$）のように主要項のみを残す近似をして良い。

(3) 円環の抵抗を $R$ とする時、円環に流れる電流 $I^{\mathrm{ring}}$ を求めよ。また、$dI/dt>0$ の時の $I^{\mathrm{ring}}$ の向きを答えよ。ただし、円環は固定されているとし、電流 $I^{\mathrm{ring}}$ による誘導磁場は考慮しない。

以下では円環の運動に着目する。円環は $z$ 方向のみに滑らかに動くものとする。

(4) 円環の質量を $m$、$z$ 方向の速度を $v_z$ として、この円環の重心の運動方程式を示せ。ただし、$a,I,R,g$ を含む形で表せ。また、円環が動くことに伴う誘導電流は無視できるほど小さいとする。

(5) 円形回路 $C$ に流れる電流を $dI^2/dt=C_0$（$C_0$ は正の定数）となるように時間変化させると、円環にかかる力と重力がつり合った。この時の高さ $z_0$ を求めよ。

(6) $t=0$ で、小問 (5) で求めたつり合いの位置 $z=z_0$ で円環が静止していたとする。この時に、極めて短時間で不連続に回路 $C$ における電流を $dI^2/dt=C_0+C_1\delta(t)$（$\delta(t)$ はデルタ関数、$C_1$ は正の定数）のように変化させる。この直後（$t=t_1$、ただし、$t_1$ は十分小さい）の円環の速度 $v_z(t=t_1)$ を求めよ。

题目描述

如上图，将半径为 $a$ 的圆形电路 $C$ 水平放在 $z=0$ 的 $xy$ 平面内，通入随时间变化的电流 $I(t)$，以绕 $z$ 轴的圆柱坐标系的 $+\phi$ 方向为正。在 $z=z_0$（$z_0>0$）处水平放置一个由金属制成、与圆形电路半径同为 $a$ 的圆环，圆环中心位于 $z$ 轴上。重力加速度大小为 $g$，方向为 $-z$。使用 SI 单位制作答。

(1) 用 $\mu_0,a,I$ 表示圆形电路 $C$ 的磁偶极矩 $\vec\mu$，其中 $\mu_0$ 为真空磁导率。

(2) 该圆电流在位置 $\vec r$ 处产生的矢量势 $\vec A(\vec r)$ 可以用磁偶极矩 $\vec\mu$ 写为

$$\vec A(\vec r)=\frac1{4\pi}\left(\frac{\vec\mu\times\vec r}{r^3}\right).\tag{A}$$

计算 $\vec B(\vec r)=\nabla\times\vec A(\vec r)$，用磁偶极矩 $\vec\mu$ 表示磁通密度 $\vec B(\vec r)$。可以使用下列恒等式等：

$$\nabla\times(f\vec A)=f(\nabla\times\vec A)-\vec A\times(\nabla f),\tag{B}$$

$$\vec A\times(\vec B\times\vec C)=\vec B(\vec A\cdot\vec C)-\vec C(\vec A\cdot\vec B),\tag{C}$$

其中 $\vec A,\vec B,\vec C$ 是矢量，$f$ 是标量。

以下各问设 $z_0\gg a$，可以采用 $\rho^2+z_0^2\approx z_0^2$ 这样仅保留主要项的近似。这里 $\rho$ 为到 $z$ 轴的距离，满足 $0\le\rho\le a$。

(3) 设圆环电阻为 $R$，求流过圆环的电流 $I^{\mathrm{ring}}$，并给出 $dI/dt>0$ 时该电流的方向。圆环保持固定，不考虑电流 $I^{\mathrm{ring}}$ 产生的感应磁场。

以下研究圆环的运动，设圆环只能沿 $z$ 方向光滑运动。

(4) 设圆环质量为 $m$、$z$ 方向速度为 $v_z$，写出圆环质心的运动方程，表达式中须包含 $a,I,R,g$。圆环运动引起的感应电流小到可以忽略。

(5) 使圆形电路 $C$ 中的电流随时间变化，满足 $dI^2/dt=C_0$，其中 $C_0$ 为正常数，此时圆环所受的力与重力平衡。求该平衡高度 $z_0$。

(6) 在 $t=0$ 时，圆环静止于第 (5) 问所得平衡位置 $z=z_0$。此时在极短时间内不连续地改变电路 $C$ 中的电流，使之满足 $dI^2/dt=C_0+C_1\delta(t)$，其中 $\delta(t)$ 为狄拉克δ函数，$C_1$ 为正常数。求紧接其后（$t=t_1$，$t_1$ 充分小）圆环的速度 $v_z(t=t_1)$。

Kai

(1)

本問では透磁率をモーメントに含める規約なので

$$\boxed{\boldsymbol\mu=\mu_0\pi a^2I\,\mathbf e_z.}$$

(2)

$\nabla\times(\boldsymbol\mu\times\mathbf r)=2\boldsymbol\mu$、$\nabla r^{-3}=-3\mathbf r/r^5$ から、$r\ne0$ において

$$\boxed{\mathbf B=\frac1{4\pi}\left[\frac{3(\boldsymbol\mu\cdot\mathbf r)\mathbf r}{r^5}-\frac{\boldsymbol\mu}{r^3}\right].}$$

(3)

円環を貫く磁束は、$z_0\gg a$ で

$$\Phi\simeq\pi a^2\frac{\mu}{2\pi z_0^3} =\frac{\mu_0\pi a^4}{2z_0^3}I.$$

ファラデーの法則より

$$\boxed{I^{\rm ring}=-\frac1R\frac{d\Phi}{dt} =-\frac{\mu_0\pi a^4}{2Rz_0^3}\frac{dI}{dt}.}$$

$dI/dt>0$ なら $-\varphi$ 方向、すなわち $+z$ 側から見て時計回りである。

(4)

高さ $z$ の円環位置では $B_\rho\simeq3\mu a/(4\pi z^4)$。$\mathbf e_\varphi\times\mathbf e_\rho=-\mathbf e_z$ より

$$F_z=-2\pi aI^{\rm ring}B_\rho =\frac{3\mu_0^2\pi^2a^8}{8Rz^7}\frac{dI^2}{dt}.$$

したがって

$$\boxed{m\frac{dv_z}{dt}=-mg+\frac{3\mu_0^2\pi^2a^8}{8Rz^7}\frac{dI^2}{dt},\qquad \dot z=v_z.}$$

(5)

$$\boxed{z_0=\left(\frac{3\mu_0^2\pi^2a^8C_0}{8Rmg}\right)^{1/7}.}$$

この結果を用いる際も $z_0\gg a$ が必要である。

(6)

極短時間では $z\simeq z_0$。平衡条件を用いると衝撃項は $mg(C_1/C_0)\delta(t)$ となる。前後に積分して

$$\boxed{v_z(0^+)=g\frac{C_1}{C_0}.}$$

方向は上向きである。

Reference

• 京都大学公式問題（2018年度、PDF 4–5ページ）