京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2017年8月実施 問題II-2

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• 一维伊辛模型
• 重整化群

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

一次元イジング模型は以下のハミルトニアンによって記述される：

$$\mathcal H=-J\sum_{i=1}^N\sigma_i\sigma_{i+1}-H\sum_{i=1}^N\sigma_i.\tag{A}$$

ここで $J$ は交換相互作用の結合定数であり、$H$ は磁場である。$\sigma_i$ は $i$ 番目のサイトにおけるスピンの状態を表すスピン変数であり、$\sigma_i=\pm1$ のいずれかの値をとる。分配関数は全てのスピン変数について和をとることにより

$$Z=\sum_{\{\sigma_i=\pm1\}_{i=1}^N}\exp(-\beta\mathcal H)\tag{B}$$

と表される。ただし、$\sum_{\{\sigma_i=\pm1\}_{i=1}^N}$ は各サイトにおけるスピン変数 $\sigma_i$（$1\le i\le N$）について和をとることを意味する。また、ボルツマン定数を $k_B$ とし、$\beta=1/(k_BT)$ とする。以下では $J>0$ を考え、温度 $T$ および $H\ge0$ を変化させるとする。

分配関数を求める際に一部のスピン変数についての和を先に計算し、その影響をパラメータの変化で表現することで、相転移の臨界的な振る舞いを知ることができる。ここでは一次元イジング模型に対してこの方法を適用する。以下では $j=\beta J$、$h=\beta H$ とし、無次元化したハミルトニアン $\widetilde{\mathcal H}_N(j,h)=\beta\mathcal H$ を考える：

$$\widetilde{\mathcal H}_N(j,h)=-j\sum_{i=1}^N\sigma_i\sigma_{i+1} -\frac h2\sum_{i=1}^N(\sigma_i+\sigma_{i+1}).\tag{C}$$

(1) まず簡単のため、3つのスピンからなる系を考える。3つのスピン変数のうち $\sigma_2$ についてのみ和をとることにより

$$\begin{aligned} &\sum_{\sigma_2=\pm1}\exp\left\{j(\sigma_1\sigma_2+\sigma_2\sigma_3) +\frac h2(\sigma_1+2\sigma_2+\sigma_3)\right\}\\ &\qquad=A\exp\left\{j'(\sigma_1\sigma_3)+\frac{h'}2(\sigma_1+\sigma_3)\right\} \end{aligned}\tag{D}$$

という等式が得られる。この等式に $(\sigma_1,\sigma_3)=(1,1),(1,-1),(-1,1),(-1,-1)$ をそれぞれ代入し、$e^{4j'},e^{4h'}$ を $j,h$ の関数で表せ。この問題において、$A$ は求めなくてよい。

(2) 前問の結果を用いて、$x'\equiv e^{-4j'}$、$y'\equiv e^{-2h'}$ を $x=e^{-4j}$、$y=e^{-2h}$ によって表せ。

次に周期境界条件 $\sigma_{i+N}=\sigma_i$ を課す。$N=2^n$ とし、整数 $n$ は十分に大きいものとする。分配関数 $Z_N=\sum_{\{\sigma_i=\pm1\}_{i=1}^N}\exp[-\widetilde{\mathcal H}_N(j,h)]$ において偶数番号のサイトのスピン変数についてのみ和をとることによって、

$$Z_N=A^{N/2}\cdot Z'_{N/2} =A^{N/2}\sum_{\{\sigma_k=\pm1\}_{k=1}^{N/2}} \exp[-\widetilde{\mathcal H}_{N/2}(j',h')]\tag{E}$$

と書ける。この操作により一次元イジング模型のパラメータ $j,h$ が $j',h'$ に変化したとみなすことができる。

(3) この操作によってパラメータが変化しない点を固定点と呼ぶ。また、相転移が起こる臨界点は固定点であると考えられる。ここでは $j,h$ の代わりに $x,y$ をパラメータとし、一次元イジング模型における固定点を求めよう。固定点の一つは $(x,y)=(0,1)$ であり、物理的には磁場をゼロにしてから低温極限を取った状態に対応する。その他の固定点を求め、それぞれの固定点に対応する温度を述べよ。

(4) $(x,y)=(0,1)$ の固定点近傍におけるパラメータの変化について考えよう。パラメータ $(x,y)$ が

(a) $x=\epsilon,\ y=1$

(b) $x=0,\ y=1-\epsilon$

で与えられるそれぞれの場合に、この操作によりパラメータ $(x,y)$ が固定点から離れていくか、あるいは近づいていくか、それぞれ述べよ。ただし、$0<\epsilon\ll1$ とする。

题目描述

一维 Ising 模型由下列哈密顿量描述：

$$\mathcal H=-J\sum_{i=1}^N\sigma_i\sigma_{i+1}-H\sum_{i=1}^N\sigma_i.\tag{A}$$

其中 $J$ 为交换相互作用的耦合常数，$H$ 为磁场。$\sigma_i$ 表示第 $i$ 个格点的自旋状态，取值为 $\pm1$。对全部自旋变量求和，配分函数为

$$Z=\sum_{\{\sigma_i=\pm1\}_{i=1}^N}\exp(-\beta\mathcal H).\tag{B}$$

记号 $\sum_{\{\sigma_i=\pm1\}_{i=1}^N}$ 表示对各格点自旋变量 $\sigma_i$（$1\le i\le N$）求和。设玻尔兹曼常数为 $k_B$，$\beta=1/(k_BT)$。以下考虑 $J>0$，并改变温度 $T$ 和磁场 $H\ge0$。

计算配分函数时，先对部分自旋变量求和，再以参数的变化表示其影响，可以了解相变的临界行为。这里将此方法用于一维 Ising 模型。以下令 $j=\beta J$、$h=\beta H$，考虑无量纲哈密顿量 $\widetilde{\mathcal H}_N(j,h)=\beta\mathcal H$：

$$\widetilde{\mathcal H}_N(j,h)=-j\sum_{i=1}^N\sigma_i\sigma_{i+1} -\frac h2\sum_{i=1}^N(\sigma_i+\sigma_{i+1}).\tag{C}$$

(1) 为简单起见，先考虑三个自旋组成的系统。只对三个自旋变量中的 $\sigma_2$ 求和，可得等式

$$\begin{aligned} &\sum_{\sigma_2=\pm1}\exp\left\{j(\sigma_1\sigma_2+\sigma_2\sigma_3) +\frac h2(\sigma_1+2\sigma_2+\sigma_3)\right\}\\ &\qquad=A\exp\left\{j'(\sigma_1\sigma_3)+\frac{h'}2(\sigma_1+\sigma_3)\right\}. \end{aligned}\tag{D}$$

分别代入 $(\sigma_1,\sigma_3)=(1,1),(1,-1),(-1,1),(-1,-1)$，将 $e^{4j'},e^{4h'}$ 表示为 $j,h$ 的函数。本题无需计算 $A$。

(2) 使用上一问的结果，将 $x'\equiv e^{-4j'}$、$y'\equiv e^{-2h'}$ 用 $x=e^{-4j}$、$y=e^{-2h}$ 表示。

接下来施加周期边界条件 $\sigma_{i+N}=\sigma_i$。设 $N=2^n$，其中整数 $n$ 充分大。在配分函数 $Z_N=\sum_{\{\sigma_i=\pm1\}_{i=1}^N}\exp[-\widetilde{\mathcal H}_N(j,h)]$ 中只对偶数编号格点的自旋变量求和，可写成

$$Z_N=A^{N/2}\cdot Z'_{N/2} =A^{N/2}\sum_{\{\sigma_k=\pm1\}_{k=1}^{N/2}} \exp[-\widetilde{\mathcal H}_{N/2}(j',h')].\tag{E}$$

可将此操作视为使一维 Ising 模型的参数由 $j,h$ 变为 $j',h'$。

(3) 将在这一操作下参数不变的点称为不动点，并认为发生相变的临界点是不动点。这里使用 $x,y$ 代替 $j,h$ 作为参数，求一维 Ising 模型的不动点。已知其中一个是 $(x,y)=(0,1)$，物理上对应于先令磁场为0、再取低温极限的状态。求其余不动点，并说明各不动点对应的温度。

(4) 考虑 $(x,y)=(0,1)$ 不动点附近的参数变化。分别在

(a) $x=\epsilon,\ y=1$

(b) $x=0,\ y=1-\epsilon$

两种情况下，说明经过这一操作后参数 $(x,y)$ 是远离还是接近该不动点。其中 $0<\epsilon\ll1$。

Kai

(1)

端点の組合せについて

$$\begin{aligned} Ae^{j'+h'}&=2e^h\cosh(2j+h),\\ Ae^{-j'}&=2\cosh h,\\ Ae^{j'-h'}&=2e^{-h}\cosh(2j-h). \end{aligned}$$

よって

$$\boxed{e^{4j'}=\frac{\cosh(2j+h)\cosh(2j-h)}{\cosh^2h},}$$

$$\boxed{e^{4h'}=e^{4h}\left[\frac{\cosh(2j+h)}{\cosh(2j-h)}\right]^2.}$$

(2)

指数関数に直して整理すると

$$\boxed{x'=\frac{x(1+y)^2}{(x+y)(1+xy)},\qquad y'=\frac{y(x+y)}{1+xy}.}$$

(3)

$0\le x,y\le1$ とする。$y>0$ では $y'=y$ から

$$x+y=1+xy,\qquad (1-x)(1-y)=0.$$

$x=1$ なら任意の $y$ について $x'=1,y'=y$。$y=1$ なら $x'=4x/(1+x)^2=x$ より $x=0,1$。また $y=0,x>0$ では $(x',y')=(1,0)$。したがって、写像が定義される領域での固定点は

$$\boxed{(0,1),\qquad (1,y)\quad(0\le y\le1).}$$

固定した $J>0$ に対し、$x=1$ は $T\to\infty$ に対応する。$H$ も有限に固定すれば $y=1$ となるが、$H/T$ を一定にして極限を取れば $0<y<1$ の固定線上の点を表せる。端点 $(1,0)$ は無限大の無次元磁場を持つ独立スピンの飽和状態である。

境界点 $(0,0)$ は $T\to0$、正磁場で現れうるが、上の座標による写像はそこで $0/0$ になる。$x=0$ の境界から近づくと $x'\to0$、$y=0$ の境界から近づくと $x'\to1$ であり、極限の取り方なしに一意の固定点とは呼べない。

(4)

(a) $x=\epsilon,y=1$ なら

$$x'=\frac{4\epsilon}{(1+\epsilon)^2}=4\epsilon+O(\epsilon^2),\qquad y'=1.$$

$x$ が増大するため固定点から離れる。

(b) $x=0,y=1-\epsilon>0$ なら

$$x'=0,\qquad y'=y^2=1-2\epsilon+O(\epsilon^2).$$

$1-y$ が増大するため、こちらも固定点から離れる。

Reference

• 京都大学公式問題（2018年度、PDF 4–5ページ）