京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2017年8月実施 問題II-1

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• WKB近似
• 谐振子基态

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

次の形のハミルトニアン $H$ で与えられる1次元ポテンシャル問題を考える：

$$H=\frac1{2m}p^2+V(x),\qquad V(x)=\frac{m\omega^2}{2}x^2(1-gx)^2.\tag{A}$$

ここで、$x$ は位置を表す座標、$p$ は $x$ に共役な運動量、$m$ は質量、$g$ は非負の実数とする。$g=0$ のとき、系は $x=0$ の周りで角振動数 $\omega$ で振動する調和振動子となり、基底エネルギー $E$ は、$E=\hbar\omega/2$ となる。ただし、$\hbar$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったものである。一方、$g\ne0$ の場合には、$V(x)$ は図に示す2重井戸ポテンシャルとなり、基底エネルギーは、トンネル効果による非摂動論的補正により、$E=\hbar\omega(\nu+1/2)$ と変更される。以下では $g\ne0$ とし、$\nu$ を求める。ここで、基底エネルギーは2重井戸ポテンシャルの障壁の高さより十分小さいとし、その $g$ に対する摂動論的補正は考えないこととする。

(1) 図の $|x|\ll1/g$ が成り立つ領域 I では、$V(x)$ は放物線 $V_0(x)=m\omega^2x^2/2$ で近似できる。$E=\hbar\omega(\nu+1/2)$ として、領域 I におけるシュレディンガー方程式 $H\psi(x)=E\psi(x)$ の解を求めよ。ここで、$\nu$ が整数でないとき、解はエルミート多項式では書けないことに注意して、解を求める際には、以下の性質をもつ特殊関数 $D_\lambda(z)$ を用いよ。$D_\lambda(z)$ は以下の微分方程式

$$\frac{d^2D_\lambda(z)}{dz^2}+\left(\lambda+\frac12-\frac{z^2}{4}\right)D_\lambda(z)=0\tag{B}$$

を満たし、$\lambda$ が非負の整数でなく、$z\gg1$ の場合には

$$\begin{aligned} D_\lambda(z)&\approx z^\lambda e^{-z^2/4},\\ D_\lambda(-z)&\approx(-z)^\lambda e^{-z^2/4} +\frac{\sqrt{2\pi}}{\Gamma(-\lambda)}e^{z^2/4}z^{-\lambda-1} \end{aligned}\tag{C}$$

の漸近形をもつ。ただし、$\Gamma(z)$ はガンマ関数である。ここで、解は $x\to-\infty$ でゼロに収束するとし、規格化定数が必要な場合は $A$ とおくこと。

図のトンネル障壁内の領域 II における基底状態の波動関数は WKB 近似で求めることができ、$k(x)=\sqrt{2m(V(x)-E)}$ として、

$$\begin{aligned} \psi(x)\approx{}&\frac{C_1}{\sqrt{k(x)}}\exp\left(\frac1\hbar\int_a^xdy\,k(y)\right)\\ &+\frac{C_2}{\sqrt{k(x)}}\exp\left(-\frac1\hbar\int_a^xdy\,k(y)\right) \end{aligned}\tag{D}$$

の形で与えられる。ここで、$a$ は図に示す $V(a)=E$ を満たす点であり、$b=g^{-1}-a$ として、基底状態が $\psi(x)=\psi(g^{-1}-x)$ を満たすことから、$C_1/C_2$ は

$$\frac{C_1}{C_2}=\exp\left(-\frac1\hbar\int_a^bdy\,k(y)\right)\tag{E}$$

となる。基底エネルギーがトンネル障壁の高さより十分小さいとき、$a\ll1/g$ が成り立つことに注意して、以下の問に答えよ。

(2) $x$ が領域 II にあり、$a\ll x\ll(a^2/g)^{1/3}$ を満たすとき、式 (D) の $\psi(x)$ は

$$\psi(x)\approx B_1x^{\gamma_1}\exp\left(\frac{m\omega x^2}{2\hbar}\right) +B_2x^{\gamma_2}\exp\left(-\frac{m\omega x^2}{2\hbar}\right)\tag{F}$$

の漸近形をもつ。$B_i$ および $\gamma_i$ を $C_i$（$i=1,2$）および $E$ を用いて表せ。ここで、$a\ll x\ll(a^2/g)^{1/3}$ のときに成り立つ近似式

$$\int_a^xdy\,k(y)\approx\int_a^xdy\left(m\omega y-\frac E{\omega y}\right)\tag{G}$$

および $a\approx\sqrt{2E/(m\omega^2)}$ を使ってもよい。

(3) 領域 I と領域 II は $a\ll x\ll(a^2/g)^{1/3}$ において重なりをもつ。重なり合った領域で、小問 (1) で求めた領域 I の解の漸近形と小問 (2) で求めた領域 II の漸近形を比較して、$C_1/C_2$ を $\nu$ の関数として表せ。

(4) 小問 (3) の解に式 (E) の $C_1/C_2$ を代入すると、$\nu$ の満たす式が得られる。基底エネルギーがトンネル障壁の高さより十分小さいとき、$\nu$ はゼロに近くなる。このとき $g^2\hbar/(m\omega)\ll1$ となることに注意し、$\nu$ を求めよ。ここで、$\nu$ がゼロに近いとき、$\Gamma(-\nu)\approx-1/\nu$ が成り立ち、また $g^2\hbar/(m\omega)$ が十分小さいとき

$$\begin{aligned} \exp\left(-\frac1\hbar\int_a^bdy\,k(y)\right) \approx{}&\exp\left(-\frac{m\omega}{6g^2\hbar}\right)\exp\left(\frac{2E}{\hbar\omega}\right)\\ &\times\left(\frac{g^2\hbar}{m\omega}\right)^{-E/(\hbar\omega)} \left(\frac{2E}{\hbar\omega}\right)^{-E/(\hbar\omega)} \end{aligned}\tag{H}$$

と近似できることを使ってよい。

题目描述

考虑由下列哈密顿量 $H$ 给出的一维势能问题：

$$H=\frac1{2m}p^2+V(x),\qquad V(x)=\frac{m\omega^2}{2}x^2(1-gx)^2.\tag{A}$$

其中 $x$ 是位置坐标，$p$ 是与 $x$ 共轭的动量，$m$ 是质量，$g$ 为非负实数。$g=0$ 时，系统是绕 $x=0$ 以角频率 $\omega$ 振动的谐振子，基态能量为 $E=\hbar\omega/2$，其中 $\hbar$ 是普朗克常数除以 $2\pi$。$g\ne0$ 时，$V(x)$ 成为图示双阱势，隧穿效应的非微扰修正使基态能量变为 $E=\hbar\omega(\nu+1/2)$。以下设 $g\ne0$，求 $\nu$。假设基态能量远低于双阱势的势垒高度，不考虑其关于 $g$ 的微扰修正。区域及势垒形状见上方原图。

(1) 在图中满足 $|x|\ll1/g$ 的区域 I 内，$V(x)$ 可近似为抛物线 $V_0(x)=m\omega^2x^2/2$。令 $E=\hbar\omega(\nu+1/2)$，求区域 I 内 Schrödinger 方程 $H\psi(x)=E\psi(x)$ 的解。注意 $\nu$ 不为整数时，解不能用 Hermite 多项式表示，应使用具有下列性质的特殊函数 $D_\lambda(z)$。它满足微分方程

$$\frac{d^2D_\lambda(z)}{dz^2}+\left(\lambda+\frac12-\frac{z^2}{4}\right)D_\lambda(z)=0,\tag{B}$$

当 $\lambda$ 不是非负整数、且 $z\gg1$ 时，具有渐近形式

$$\begin{aligned} D_\lambda(z)&\approx z^\lambda e^{-z^2/4},\\ D_\lambda(-z)&\approx(-z)^\lambda e^{-z^2/4} +\frac{\sqrt{2\pi}}{\Gamma(-\lambda)}e^{z^2/4}z^{-\lambda-1}. \end{aligned}\tag{C}$$

其中 $\Gamma(z)$ 为伽马函数。要求解在 $x\to-\infty$ 时趋于0，如需归一化常数，记为 $A$。

图中隧穿势垒内区域 II 的基态波函数可以用 WKB 近似求得。令 $k(x)=\sqrt{2m(V(x)-E)}$，则

$$\begin{aligned} \psi(x)\approx{}&\frac{C_1}{\sqrt{k(x)}}\exp\left(\frac1\hbar\int_a^xdy\,k(y)\right)\\ &+\frac{C_2}{\sqrt{k(x)}}\exp\left(-\frac1\hbar\int_a^xdy\,k(y)\right). \end{aligned}\tag{D}$$

其中 $a$ 是图中满足 $V(a)=E$ 的点。令 $b=g^{-1}-a$，由基态满足 $\psi(x)=\psi(g^{-1}-x)$，有

$$\frac{C_1}{C_2}=\exp\left(-\frac1\hbar\int_a^bdy\,k(y)\right).\tag{E}$$

注意当基态能量远低于隧穿势垒高度时，$a\ll1/g$ 成立。回答以下问题。

(2) 当 $x$ 位于区域 II 且满足 $a\ll x\ll(a^2/g)^{1/3}$ 时，式 (D) 的 $\psi(x)$ 具有渐近形式

$$\psi(x)\approx B_1x^{\gamma_1}\exp\left(\frac{m\omega x^2}{2\hbar}\right) +B_2x^{\gamma_2}\exp\left(-\frac{m\omega x^2}{2\hbar}\right).\tag{F}$$

用 $C_i$（$i=1,2$）和 $E$ 表示 $B_i$、$\gamma_i$。可以使用在 $a\ll x\ll(a^2/g)^{1/3}$ 时成立的近似

$$\int_a^xdy\,k(y)\approx\int_a^xdy\left(m\omega y-\frac E{\omega y}\right),\tag{G}$$

以及 $a\approx\sqrt{2E/(m\omega^2)}$。

(3) 区域 I 与区域 II 在 $a\ll x\ll(a^2/g)^{1/3}$ 内重叠。比较第 (1) 问的区域 I 解和第 (2) 问的区域 II 解在重叠区域内的渐近形式，将 $C_1/C_2$ 表示为 $\nu$ 的函数。

(4) 将式 (E) 的 $C_1/C_2$ 代入第 (3) 问的结果，可得 $\nu$ 满足的方程。基态能量远低于隧穿势垒高度时，$\nu$ 接近0。注意此时 $g^2\hbar/(m\omega)\ll1$，求 $\nu$。可以使用 $\nu$ 接近0时 $\Gamma(-\nu)\approx-1/\nu$，以及当 $g^2\hbar/(m\omega)$ 充分小时的近似

$$\begin{aligned} \exp\left(-\frac1\hbar\int_a^bdy\,k(y)\right) \approx{}&\exp\left(-\frac{m\omega}{6g^2\hbar}\right)\exp\left(\frac{2E}{\hbar\omega}\right)\\ &\times\left(\frac{g^2\hbar}{m\omega}\right)^{-E/(\hbar\omega)} \left(\frac{2E}{\hbar\omega}\right)^{-E/(\hbar\omega)}. \end{aligned}\tag{H}$$

Kai

(1)

$z=\alpha x$、$\alpha=\sqrt{2m\omega/\hbar}$ とおくと

$$\frac{d^2\psi}{dz^2}+\left(\nu+\frac12-\frac{z^2}{4}\right)\psi=0.$$

$x\to-\infty$ で減衰する解を選び、

$$\boxed{\psi_{\rm I}(x)=A D_\nu(-\alpha x).}$$

(2)

$q=E/(\hbar\omega)=\nu+1/2$ とおく。題意の積分近似から

$$\frac1\hbar\int_a^xk(y)dy\simeq\frac{m\omega x^2}{2\hbar}-q-q\ln\frac xa,\qquad k(x)\simeq m\omega x.$$

したがって

$$\boxed{\gamma_1=-q-\frac12=-\nu-1,\qquad B_1=\frac{C_1}{\sqrt{m\omega}}e^{-q}a^q,}$$

$$\boxed{\gamma_2=q-\frac12=\nu,\qquad B_2=\frac{C_2}{\sqrt{m\omega}}e^qa^{-q},\qquad a\simeq\sqrt{\frac{2E}{m\omega^2}}.}$$

(3)

実波動関数を用いると、実軸上の $D_\nu(-z)$ の減衰項係数は $\cos\pi\nu$ となる。したがって成長・減衰項の係数比は

$$\frac{B_1}{B_2}=\frac{\sqrt{2\pi}}{\Gamma(-\nu)\cos\pi\nu}\alpha^{-2q}.$$

(2) の $B_1/B_2=(C_1/C_2)e^{-2q}a^{2q}$ と $\alpha a=2\sqrt q$ を用いれば

$$\boxed{\frac{C_1}{C_2}=\frac{\sqrt{2\pi}}{\Gamma(-\nu)\cos\pi\nu} \left[\frac{e^2}{4(\nu+1/2)}\right]^{\nu+1/2}.}$$

題文の $(-z)^\nu$ という表記を形式的にそのまま使う場合には $\cos\pi\nu$ を $(-1)^\nu$ に置き換えた式となる。ここで必要な $\nu\to0$ の主要項ではいずれの係数も $1$ である。

(4)

対称性による係数比と比較し、共通する $e^{2q}$ を消去すると

$$\frac1{\Gamma(-\nu)\cos\pi\nu} \simeq\frac1{\sqrt{2\pi}}\left(\frac2s\right)^q e^{-1/(6s)}.$$

左辺は $-\nu+O(\nu^2)$、右辺の冪では $q\simeq1/2$ としてよい。ゆえに

$$\boxed{\nu\simeq-\frac1{\sqrt{\pi s}}e^{-1/(6s)} =-\sqrt{\frac{m\omega}{\pi g^2\hbar}}\exp\!\left[-\frac{m\omega}{6g^2\hbar}\right].}$$

対称な基底状態はトンネル効果によってエネルギーが下がる。

Reference

• 京都大学公式問題（2018年度、PDF 2–3ページ）