京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2017年度 問題II-3-ABCD

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• 傅里叶级数
• 用傅里叶级数求无穷级数
• 简正模与耦合振子
• 有限维哈密顿量
• 镜像法

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

II-3A（物理数学）

1. $-1\le x\le1$ で $f(x)=x^2$ となる周期 $2$ の関数をフーリエ級数展開せよ。
2. その結果を用いて $\sum_{n=1}^{\infty}n^{-2}$ を求めよ。

II-3B（力学）

複数の質点がばねでつながった系の振動を考える。図 1 では、質量 $m$ の質点 $1,2$ が弾性定数 $K$ のばねで壁につながれ、質点間は弾性定数 $G$ のばねでつながれている。$K,G>0$、$G\ne K$ とし、壁間距離は三つのばねの自然長の和とする。この系の縦振動（$x$ 方向の振動）の二つのモードを図 2 に示す。矢印は各質点の変位ベクトルを表す。

これを参考に、図 1 の中央のばねを、図 3 のように質量 $2m$ の質点 $3$ を伴う二本の弾性定数 $G$ のばねに置き換えた系を考える。壁間距離は四つのばねの自然長の和とする。図 3 の各縦振動モードの固有振動数を求め、変位ベクトル $x_j$（$j=1,2,3$）の様子を図 2 の例にならって矢印で図示せよ。結果は $G\gg K$ の近似でよい。

II-3C（量子力学）

大きさ $1/2$ の二つのスピンについて

$$H=(1-x)J\hat s_1^z\hat s_2^z+xJ\hat{\mathbf s}_1\cdot\hat{\mathbf s}_2,\qquad J>0,\quad0\le x\le1$$

とする。$\hat s_i^z$ の固有値は $\pm1/2$、$\hat{\mathbf S}^2$ の固有値は $S(S+1)$ である。

1. $x=0$ のエネルギーと縮退度を求めよ。
2. $x=1$ のエネルギーと縮退度を求めよ。$({\mathbf s}_1+{\mathbf s}_2)^2={\mathbf s}_1^2+{\mathbf s}_2^2+2{\mathbf s}_1\cdot{\mathbf s}_2$ を用いてよい。
3. $0\le x\le1$ でのエネルギー準位を、縮退度を含めて図示せよ。

II-3D（電磁気学）

図のように、接地された二枚の半無限導体を、$zx$ 半平面（$x>0,y=0$）と $yz$ 半平面（$x=0,y>0$）に直交させる。点電荷 $Q$ を $(a,b,0)$（$a,b>0$）に置く。図中の矢印をそれぞれ $x,y$ の正方向とする。

1. 点電荷のある領域 $x>0,y>0$ の電位を求めよ。
2. 求めた電位が両導体上で零となることを示せ。

题目描述

II-3A： (1) 将周期为 $2$、在 $[-1,1]$ 上等于 $x^2$ 的函数展开成傅里叶级数；(2) 用它求 $\sum_{n\ge1}1/n^2$。

II-3B： 参照上方原题图 1–3。图 1 中两个质量为 $m$ 的质点通过弹簧与两固定墙连接，$K,G>0$、$G\ne K$，墙距等于三弹簧自然长度之和。其两个纵振动模态如图 2，箭头表示质点位移。将中央弹簧改为图 3 中带有质量 $2m$ 的质点 $3$ 的两根弹簧 $G$，墙距等于四弹簧自然长度之和。求图 3 系统各纵振动模态的固有频率，并仿照图 2 用箭头表示各质点的位移，可取 $G\gg K$。

II-3C： 两个自旋 $1/2$ 的哈密顿量如上，$J>0,0\le x\le1$。分别求 $x=0$、$x=1$ 的能级与简并度，再画出全过程的能级变化。自旋算符无量纲，$s_i^z=\pm1/2$。

II-3D： 如该小题原图所示，两片接地导体位于 $y=0,x>0$ 及 $x=0,y>0$，点电荷 $Q$ 位于 $(a,b,0)$，$a,b>0$。(1) 求第一象限区域电势；(2) 验证导体上电势为零。

Kai

II-3A

(1)

関数は偶関数なので余弦級数となる。係数は

$$\frac{a_0}{2}=\frac13,\qquad a_n=\int_{-1}^1x^2\cos(n\pi x)\,dx=\frac{4(-1)^n}{n^2\pi^2}.$$

したがって

$$\boxed{f(x)=\frac13+\frac4{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}\cos(n\pi x).}$$

(2)

$x=1$ を代入して $1=1/3+(4/\pi^2)\sum n^{-2}$ より

$$\boxed{\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}{6}.}$$

II-3B

変位の順序を $(x_1,x_2,x_3)$ とする。運動方程式は

$$\begin{aligned} m\ddot x_1&=-(K+G)x_1+Gx_3,\\ m\ddot x_2&=-(K+G)x_2+Gx_3,\\ 2m\ddot x_3&=G(x_1+x_2)-2Gx_3. \end{aligned}$$

反対称モードは

$$\boxed{\Omega_a^2=\frac{K+G}{m},\qquad (x_1,x_2,x_3)\propto(1,-1,0).}$$

対称モードでは $x_1=x_2=u$、$x_3=v$ とし、

$$\begin{pmatrix}K+G-m\Omega^2&-G\\-G&G-m\Omega^2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}=0.$$

よって

$$\boxed{\Omega_\pm^2=\frac{K+2G\pm\sqrt{K^2+4G^2}}{2m},\qquad (u,u,v)\propto\left(1,1,\frac{K+G-m\Omega_\pm^2}{G}\right).}$$

$G\gg K$ では

$$\Omega_-\simeq\sqrt{\frac K{2m}},\quad (1,1,1),\qquad \Omega_a\simeq\sqrt{\frac Gm},\quad (1,-1,0),\qquad \Omega_+\simeq\sqrt{\frac{2G}{m}},\quad (1,1,-1).$$

普通の振動数を用いる場合は $f_j=\Omega_j/(2\pi)$ である。

II-3C

(1)

$H=J\hat s_1^z\hat s_2^z$ だから、平行スピンは $J/4$、反平行スピンは $-J/4$。

$$\boxed{E=J/4\ (2\text{重}),\qquad E=-J/4\ (2\text{重}).}$$

(2)

$H=\frac J2[\hat{\mathbf S}^2-3/2]$ より

$$\boxed{E=-3J/4\ (S=0,\ 1\text{重}),\qquad E=J/4\ (S=1,\ 3\text{重}).}$$

(3)

$|\uparrow\uparrow\rangle,|\downarrow\downarrow\rangle$ のエネルギーは常に $J/4$。反平行スピン部分の行列は

$$J\begin{pmatrix}-1/4&x/2\\x/2&-1/4\end{pmatrix}.$$

したがって

$$\boxed{E_{\rm s}=-\frac J4-\frac{Jx}{2},\qquad E_{{\rm t},0}=-\frac J4+\frac{Jx}{2},\qquad E_{{\rm t},\pm1}=\frac J4.}$$

$0<x<1$ の縮退度は順に $1,1,2$。端点では (1)、(2) の縮退に戻る。

II-3D

(1)

鏡像電荷を $(-a,b,0)$ に $-Q$、$(a,-b,0)$ に $-Q$、$(-a,-b,0)$ に $+Q$ と置く。求める電位は

$$\boxed{V(x,y,z)=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\left[ \frac1{\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2+z^2}} -\frac1{\sqrt{(x+a)^2+(y-b)^2+z^2}} -\frac1{\sqrt{(x-a)^2+(y+b)^2+z^2}} +\frac1{\sqrt{(x+a)^2+(y+b)^2+z^2}} \right].}$$

(2)

$x=0$ では第一項と第二項、第三項と第四項が打ち消す。$y=0$ では第一項と第三項、第二項と第四項が打ち消すので、いずれも $V=0$。鏡像はすべて対象領域外にあり、無限遠で $V\to0$ となるため、一意性定理により上式が解である。

Reference

• 京都大学公式問題（2017年度、PDF 13–14ページ）