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京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2017年度 問題II-1

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description​

真空中のマクスウェル方程式を

∇×E+∂tB=0,∇⋅B=0,μ0−1∇×B−ϵ0∂tE=j,∇⋅E=ρ/ϵ0\nabla\times\mathbf E+\partial_t\mathbf B=0,\quad \nabla\cdot\mathbf B=0,\quad \mu_0^{-1}\nabla\times\mathbf B-\epsilon_0\partial_t\mathbf E=\mathbf j,\quad \nabla\cdot\mathbf E=\rho/\epsilon_0

とする。

  1. 分極電荷密度 ρd=−∇⋅P\rho_d=-\nabla\cdot\mathbf P、分極電流密度 jd=∂tP\mathbf j_d=\partial_t\mathbf P が電荷保存則を満たすことを示せ。
  2. 自由電荷密度を ρe\rho_e、その電流密度を je\mathbf j_e、磁化を M\mathbf M、磁化電流を jm=∇×M\mathbf j_m=\nabla\times\mathbf M とする。D=ϵ0E+P\mathbf D=\epsilon_0\mathbf E+\mathbf P、B=μ0(H+M)\mathbf B=\mu_0(\mathbf H+\mathbf M) を用い、物質中の四つのマクスウェル方程式を導け。

以下では、電荷 +e+e のイオンと電荷 −e-e、質量 mm の電子が、それぞれ単位体積当たり NN 個ある有限領域に、角振動数 ω\omega、振幅 E0E_0 の電磁波が作用する。電子の速さは cc より十分小さく、イオンの運動・散乱と電子間相互作用を無視する。

  1. 電子の変位が mx¨=−eE0sin⁡ωtm\ddot x=-eE_0\sin\omega t を満たすとき、振動成分の電流密度 jj を求めよ。全体の並進運動は考えない。
  2. この電子・イオン集団を D=ϵ(ω)E\mathbf D=\epsilon(\omega)\mathbf E、B=μ(ω)H\mathbf B=\mu(\omega)\mathbf H を満たす媒質とみなし、誘電率 ϵ\epsilon を求めよ。
  3. 電子に弾性的な束縛力 −mω02x-m\omega_0^2x が加わる場合の運動方程式を書け。
  4. (5) の場合の屈折率 n=ϵμ/(ϵ0μ0)n=\sqrt{\epsilon\mu/(\epsilon_0\mu_0)} を求め、n2n^2 の ω\omega 依存性を図示せよ。ただし ω≠ω0\omega\ne\omega_0。

题目描述​

真空麦克斯韦方程如上。

  1. 利用 ρd=−∇⋅P\rho_d=-\nabla\cdot\mathbf P 与 jd=∂tP\mathbf j_d=\partial_t\mathbf P 证明极化电荷守恒。
  2. 自由电荷、电流为 ρe,je\rho_e,\mathbf j_e，磁化电流为 ∇×M\nabla\times\mathbf M。从 D=ϵ0E+P\mathbf D=\epsilon_0\mathbf E+\mathbf P、B=μ0(H+M)\mathbf B=\mu_0(\mathbf H+\mathbf M) 推导介质中的四条方程。

某有限区域每单位体积有 NN 个电荷 +e+e 的离子及 NN 个电荷 −e-e、质量 mm 的电子，受 E0sin⁡ωtE_0\sin\omega t 电场驱动。忽略离子运动、散射及电子相互作用，电子速度远小于光速。

  1. 由 mx¨=−eE0sin⁡ωtm\ddot x=-eE_0\sin\omega t 求振荡电流密度，忽略整体平移。
  2. 将区域看作满足 D=ϵE,B=μHD=\epsilon E,B=\mu H 的介质，求 ϵ(ω)\epsilon(\omega)。
  3. 加上回复力 −mω02x-m\omega_0^2x，写运动方程。
  4. 求此时折射率 n=ϵμ/(ϵ0μ0)n=\sqrt{\epsilon\mu/(\epsilon_0\mu_0)}，并画出 n2n^2 对 ω\omega 的关系，排除共振点 ω=ω0\omega=\omega_0。

Kai​

(1)​

∂tρd+∇⋅jd=−∂t∇⋅P+∇⋅∂tP=0.\partial_t\rho_d+\nabla\cdot\mathbf j_d =-\partial_t\nabla\cdot\mathbf P+\nabla\cdot\partial_t\mathbf P=0.

(2)​

ρ=ρe+ρd\rho=\rho_e+\rho_d、j=je+∂tP+∇×M\mathbf j=\mathbf j_e+\partial_t\mathbf P+\nabla\times\mathbf M を代入して整理すると

∇×E=−∂tB,∇⋅B=0,∇×H=je+∂tD,∇⋅D=ρe.\boxed{\nabla\times\mathbf E=-\partial_t\mathbf B,\quad \nabla\cdot\mathbf B=0,\quad \nabla\times\mathbf H=\mathbf j_e+\partial_t\mathbf D,\quad \nabla\cdot\mathbf D=\rho_e.}

(3)​

並進成分を除く解は x=eE0sin⁡ωt/(mω2)x=eE_0\sin\omega t/(m\omega^2) である。したがって

j=−Nex˙=−Ne2E0mωcos⁡ωt.\boxed{j=-Ne\dot x=-\frac{Ne^2E_0}{m\omega}\cos\omega t.}

(4)​

イオンは静止しているので P=−NexP=-Nex。ゆえに

D=ϵ0E+P=(ϵ0−Ne2mω2)E,ϵ(ω)=ϵ0−Ne2mω2.D=\epsilon_0E+P=\left(\epsilon_0-\frac{Ne^2}{m\omega^2}\right)E, \qquad \boxed{\epsilon(\omega)=\epsilon_0-\frac{Ne^2}{m\omega^2}.}

(5)​

x¨+ω02x=−eE0msin⁡ωt.\boxed{\ddot x+\omega_0^2x=-\frac{eE_0}{m}\sin\omega t.}

(6)​

周波数 ω\omega の定常振動成分は

x=eE0m(ω2−ω02)sin⁡ωt,ϵ=ϵ0−Ne2m(ω2−ω02).x=\frac{eE_0}{m(\omega^2-\omega_0^2)}\sin\omega t, \qquad \epsilon=\epsilon_0-\frac{Ne^2}{m(\omega^2-\omega_0^2)}.

ωp2=Ne2/(mϵ0)\omega_p^2=Ne^2/(m\epsilon_0) とおけば

n2=μ(ω)μ0(1−ωp2ω2−ω02).\boxed{n^2=\frac{\mu(\omega)}{\mu_0}\left(1-\frac{\omega_p^2}{\omega^2-\omega_0^2}\right).}

本問の電気双極子近似では磁気応答を無視して μ≃μ0\mu\simeq\mu_0 とする。このとき n2(0)=1+ωp2/ω02n^2(0)=1+\omega_p^2/\omega_0^2、ω→ω0−0\omega\to\omega_0-0 で +∞+\infty、ω→ω0+0\omega\to\omega_0+0 で −∞-\infty、ω=ω02+ωp2\omega=\sqrt{\omega_0^2+\omega_p^2} で零、ω→∞\omega\to\infty で下から 11 に近づく。n2<0n^2<0 の区間では屈折率は虚数となる。

無減衰ローレンツ模型の屈折率の二乗

Reference​

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