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京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2016年8月実施 問題I-2

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description​

引力ポテンシャル V(∣r1−r2∣)V(|\mathbf r_1-\mathbf r_2|) を及ぼしあった質量 mm の2粒子からなる量子系の束縛状態を考える。r1,r2\mathbf r_1,\mathbf r_2 は2粒子の座標である。重心座標 rG=(r1+r2)/2\mathbf r_G=(\mathbf r_1+\mathbf r_2)/2 と相対座標 r=r1−r2=(x,y)\mathbf r=\mathbf r_1-\mathbf r_2=(x,y) とに分けて考え、以下、重心は止まっているものとし、∣r∣=r|\mathbf r|=r と書く。

先ず、2次元で、ポテンシャルが円筒対称な場合

V(r)={0(r>a),−V0(r<a),(A)V(r)=\begin{cases}0&(r>a),\\-V_0&(r<a),\end{cases}\tag{A}

（V0>0V_0>0）を考える。

(1) 2次元ラプラシアン ∇2\nabla^2 を円筒座標 (r,θ)(r,\theta) で表わせ。ただし結果のみでも良い。また、x=rcos⁡θ, y=rsin⁡θx=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta である。

(2) 定常状態の波動関数 ψ\psi を、角運動量の zz 成分 LzL_z の固有値 ℏn\hbar n に対する固有関数 Φn(θ)\Phi_n(\theta) で

ψ(r)=∑nRnΦn(θ)(B)\psi(\mathbf r)=\sum_nR_n\Phi_n(\theta)\tag{B}

のように展開した時の係数 RnR_n は動径 rr の関数である。Rn(r)R_n(r) が満たす微分方程式を書け。ただし、エネルギー固有値は EE と表記せよ。

(3) 引力の強さは無次元パラメタ

λ=mV0a24ℏ2(C)\lambda=\frac{mV_0a^2}{4\hbar^2}\tag{C}

で表現できる。引力が弱く、λ\lambda が十分に小さい時の基底状態のエネルギー固有値 EE を λ\lambda と V0V_0 を用いて表わせ。ただし、2つの微分方程式

d2X±dz2+1zdX±dz±X±=0(D)\frac{d^2X_\pm}{dz^2}+\frac1z\frac{dX_\pm}{dz}\pm X_\pm=0\tag{D}

の物理的に許される解の z→0z\to0 における漸近的ふるまいが、それぞれ、

X+(z)≃1−z2/4,X−(z)≃ln⁡(c/z)(E)X_+(z)\simeq1-z^2/4,\qquad X_-(z)\simeq\ln(c/z)\tag{E}

（cc は正の定数）であることを用いてよい。

次に、xx 座標上の引力ポテンシャル

V(x)={V1(x<0),0(0<x<b),V2(x>b),(F)V(x)=\begin{cases}V_1&(x<0),\\0&(0<x<b),\\V_2&(x>b),\end{cases}\tag{F}

の下にある1次元系を考える。ただし、V1≥V2>0V_1\ge V_2>0 であるとする。

(4) V1=V2V_1=V_2 の場合には、円筒対称な2次元ポテンシャル (A) の場合と同様、束縛状態は必ず存在することを示せ。

(5) V1>V2V_1>V_2 である場合には、束縛状態が一つも存在しない状況が生まれる。そのための条件を、mV2b2/ℏ2mV_2b^2/\hbar^2 と比 V2/V1V_2/V_1 を用いて表わせ。

题目描述​

考虑由两个质量均为 mm、通过吸引势 V(∣r1−r2∣)V(|\mathbf r_1-\mathbf r_2|) 相互作用的粒子组成的量子系统的束缚态。r1,r2\mathbf r_1,\mathbf r_2 为两粒子的坐标。将运动分成质心坐标 rG=(r1+r2)/2\mathbf r_G=(\mathbf r_1+\mathbf r_2)/2 和相对坐标 r=r1−r2=(x,y)\mathbf r=\mathbf r_1-\mathbf r_2=(x,y)，以下设质心静止，并记 ∣r∣=r|\mathbf r|=r。

首先考虑二维、势具有圆柱对称性的情形：

V(r)={0(r>a),−V0(r<a),V0>0.(A)V(r)=\begin{cases}0&(r>a),\\-V_0&(r<a),\end{cases}\qquad V_0>0.\tag{A}

(1) 用圆柱坐标 (r,θ)(r,\theta) 表示二维拉普拉斯算符 ∇2\nabla^2，只写结果亦可。其中 x=rcos⁡θ, y=rsin⁡θx=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta。

(2) 将定态波函数 ψ\psi 按角动量 zz 分量 LzL_z 的本征值 ℏn\hbar n 对应的本征函数 Φn(θ)\Phi_n(\theta) 展开为

ψ(r)=∑nRnΦn(θ).(B)\psi(\mathbf r)=\sum_nR_n\Phi_n(\theta).\tag{B}

展开系数 RnR_n 是径向坐标 rr 的函数。写出 Rn(r)R_n(r) 满足的微分方程，能量本征值记为 EE。

(3) 吸引力的强度可以用无量纲参数

λ=mV0a24ℏ2(C)\lambda=\frac{mV_0a^2}{4\hbar^2}\tag{C}

表示。当吸引力很弱、λ\lambda 充分小时，用 λ\lambda 和 V0V_0 表示基态能量本征值 EE。可以使用以下事实：两个微分方程

d2X±dz2+1zdX±dz±X±=0(D)\frac{d^2X_\pm}{dz^2}+\frac1z\frac{dX_\pm}{dz}\pm X_\pm=0\tag{D}

的物理可接受解在 z→0z\to0 时的渐近行为分别为

X+(z)≃1−z2/4,X−(z)≃ln⁡(c/z),(E)X_+(z)\simeq1-z^2/4,\qquad X_-(z)\simeq\ln(c/z),\tag{E}

其中 cc 为正常数。

接着考虑在 xx 轴吸引势

V(x)={V1(x<0),0(0<x<b),V2(x>b),(F)V(x)=\begin{cases}V_1&(x<0),\\0&(0<x<b),\\V_2&(x>b),\end{cases}\tag{F}

作用下的一维系统，设 V1≥V2>0V_1\ge V_2>0。

(4) 证明当 V1=V2V_1=V_2 时，与二维圆柱对称势 (A) 的情形相同，束缚态必定存在。

(5) 当 V1>V2V_1>V_2 时，可能出现一个束缚态也不存在的情形。用 mV2b2/ℏ2mV_2b^2/\hbar^2 和比值 V2/V1V_2/V_1 表示其条件。

Kai​

(1)​

∇2=1r∂∂r(r∂∂r)+1r2∂2∂θ2.\boxed{\nabla^2=\frac1r\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac1{r^2}\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}.}

(2)​

相対運動の換算質量は μ=m/2\mu=m/2 であり、H=−ℏ2∇2/m+VH=-\hbar^2\nabla^2/m+V。Φn=einθ/2π\Phi_n=e^{in\theta}/\sqrt{2\pi} を用いると

Rn′′+1rRn′+[mℏ2(E−V(r))−n2r2]Rn=0.\boxed{R_n''+\frac1rR_n'+\left[\frac m{\hbar^2}(E-V(r))-\frac{n^2}{r^2}\right]R_n=0.}

(3)​

基底状態は n=0n=0 で、−V0<E<0-V_0<E<0。k=m(V0+E)/ℏk=\sqrt{m(V_0+E)}/\hbar、κ=m∣E∣/ℏ\kappa=\sqrt{m|E|}/\hbar とすると

R0(r)={AJ0(kr)r<a,BK0(κr)r>a.R_0(r)=\begin{cases}A J_0(kr)&ra. \end{cases}

r=ar=a での対数微分の連続性から

kaJ1(ka)J0(ka)=κaK1(κa)K0(κa).\frac{kaJ_1(ka)}{J_0(ka)}=\frac{\kappa aK_1(\kappa a)}{K_0(\kappa a)}.

ka≃2λka\simeq2\sqrt\lambda、κa≪1\kappa a\ll1 とし、題意の最低次の近似を用いれば

2λ≃1ln⁡(c/(κa)),∣E∣=V04λ(κa)2.2\lambda\simeq\frac1{\ln(c/(\kappa a))},\qquad |E|=\frac{V_0}{4\lambda}(\kappa a)^2.

したがって、主指数を残した弱結合近似では

E≈−c2V04λe−1/λ.\boxed{E\approx-\frac{c^2V_0}{4\lambda}e^{-1/\lambda}.}

この式の指数 −1/λ-1/\lambda は最低次の接続から決まるが、有限の前因子を相対誤差まで確定するには高次項が必要である。実際、J0(u)=1−u2/4+u4/64+⋯J_0(u)=1-u^2/4+u^4/64+\cdots を用いると

ln⁡cκa=12λ−14+O(λ),E=−c2V04λexp⁡ ⁣[−1λ+12+O(λ)].\begin{gathered} \ln\frac c{\kappa a}=\frac1{2\lambda}-\frac14+O(\lambda),\\ \boxed{E=-\frac{c^2V_0}{4\lambda}\exp\!\left[-\frac1\lambda+\frac12+O(\lambda)\right].} \end{gathered}

ここで標準の K0K_0 に対して c=2e−γc=2e^{-\gamma} である。任意に弱い引力にも負の束縛エネルギーが存在する。

(4)​

換算質量は引き続き m/2m/2 とする。0<E<V20<E<V_2 について

k=mEℏ,κi=m(Vi−E)ℏk=\frac{\sqrt{mE}}\hbar,\qquad \kappa_i=\frac{\sqrt{m(V_i-E)}}\hbar

とおく。波動関数を左側 Aeκ1xAe^{\kappa_1x}、井戸内 Csin⁡(kx+δ)C\sin(kx+\delta)、右側 De−κ2(x−b)De^{-\kappa_2(x-b)} とし、両境界で接続すると

kb+arctan⁡kκ1+arctan⁡kκ2=nπ,n=1,2,…kb+\arctan\frac{k}{\kappa_1}+\arctan\frac{k}{\kappa_2}=n\pi, \qquad n=1,2,\ldots

を得る。左辺は EE とともに単調増加する。V1=V2=VV_1=V_2=V では E→0E\to0 で零、E→V−0E\to V-0 で bmV/ℏ+π>πb\sqrt{mV}/\hbar+\pi>\pi だから、n=1n=1 の根が必ず存在する。

(5)​

V1>V2V_1>V_2 の場合、E→V2−0E\to V_2-0 における左辺の上限は

bmV2ℏ+arctan⁡V2V1−V2+π2.\frac{b\sqrt{mV_2}}\hbar+\arctan\sqrt{\frac{V_2}{V_1-V_2}}+\frac\pi2.

これが π\pi 以下なら n=1n=1 の根がなく、高い nn の根もない。よって求める条件は

mV2b2ℏ2≤[arccos⁡V2V1]2.\boxed{\frac{mV_2b^2}{\hbar^2}\le \left[\arccos\sqrt{\frac{V_2}{V_1}}\right]^2.}

等号に対応する E=V2E=V_2 の解は右半直線で減衰せず、規格化できないので束縛状態に含まれない。

Reference​

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