京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2016年8月実施 問題II-3-ABCD Author 祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)
Description II-3A（物理数学）
(1) 区間 − 1 ≤ x ≤ 1 -1\le x\le1 − 1 ≤ x ≤ 1 f ( x ) = x 2 f(x)=x^2 f ( x ) = x 2
(2) 問 (1) の結果を用いて、以下の値を求めよ。
∑ n = 1 ∞ 1 n 2 (A) \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2}\tag{A} n = 1 ∑ ∞ n 2 1 ( A ) II-3B（力学）
複数の質点がばねでつながった系の振動について考える。その最も簡単な例は、質量 m m m K K K G G G G ≠ K G\ne K G = K x x x j j j x j x_j x j j = 1 , 2 j=1,2 j = 1 , 2
これを参考に、図3のように、図1の弾性定数 G G G 2 m 2m 2 m G G G x j x_j x j j = 1 , 2 , 3 j=1,2,3 j = 1 , 2 , 3 G ≫ K G\gg K G ≫ K
II-3C（量子力学）
大きさ 1 / 2 1/2 1/2 s ^ 1 , s ^ 2 \hat{\mathbf s}_1,\hat{\mathbf s}_2 s ^ 1 , s ^ 2 J > 0 J>0 J > 0 0 ≤ x ≤ 1 0\le x\le1 0 ≤ x ≤ 1
H = ( 1 − x ) J s ^ 1 z s ^ 2 z + x J s ^ 1 ⋅ s ^ 2 (B) \mathcal H=(1-x)J\hat s_1^z\hat s_2^z+xJ\hat{\mathbf s}_1\cdot\hat{\mathbf s}_2\tag{B} H = ( 1 − x ) J s ^ 1 z s ^ 2 z + x J s ^ 1 ⋅ s ^ 2 ( B ) ここで、s ^ 1 z , s ^ 2 z \hat s_1^z,\hat s_2^z s ^ 1 z , s ^ 2 z z z z
(1) x = 0 x=0 x = 0 s ^ 1 z \hat s_1^z s ^ 1 z s ^ 2 z \hat s_2^z s ^ 2 z ± 1 / 2 \pm1/2 ± 1/2
(2) x = 1 x=1 x = 1 S S S S ^ 2 \hat{\mathbf S}^2 S ^ 2 S ( S + 1 ) S(S+1) S ( S + 1 ) ( s ^ 1 + s ^ 2 ) 2 = s ^ 1 2 + s ^ 2 2 + 2 s ^ 1 ⋅ s ^ 2 (\hat{\mathbf s}_1+\hat{\mathbf s}_2)^2=\hat{\mathbf s}_1^2+\hat{\mathbf s}_2^2+2\hat{\mathbf s}_1\cdot\hat{\mathbf s}_2 ( s ^ 1 + s ^ 2 ) 2 = s ^ 1 2 + s ^ 2 2 + 2 s ^ 1 ⋅ s ^ 2
(3) x x x x x x
II-3D（電磁気学）
図のような座標系 ( x , y , z ) (x,y,z) ( x , y , z ) z x zx z x x > 0 x>0 x > 0 y z yz yz y > 0 y>0 y > 0 Q Q Q ( a , b , 0 ) (a,b,0) ( a , b , 0 ) x x x y y y
(1) 導体によって区切られ、点電荷 Q Q Q x > 0 x>0 x > 0 y > 0 y>0 y > 0
(2) 問 (1) で求めた電位が導体のある位置（z x zx z x x > 0 x>0 x > 0 y z yz yz y > 0 y>0 y > 0
题目描述
II-3A（物理数学）
(1) 将周期为2、在区间 − 1 ≤ x ≤ 1 -1\le x\le1 − 1 ≤ x ≤ 1 f ( x ) = x 2 f(x)=x^2 f ( x ) = x 2
(2) 使用第 (1) 问的结果，求
∑ n = 1 ∞ 1 n 2 . (A) \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2}.\tag{A} n = 1 ∑ ∞ n 2 1 . ( A ) II-3B（力学）
考虑多个质点通过弹簧连接的系统的振动。最简单的例子如图1：质量为 m m m K K K G G G G ≠ K G\ne K G = K x x x j j j x j x_j x j j = 1 , 2 j=1,2 j = 1 , 2
参考此例，考虑图3的系统：将图1中弹性系数为 G G G G G G 2 m 2m 2 m x j x_j x j j = 1 , 2 , 3 j=1,2,3 j = 1 , 2 , 3 G ≫ K G\gg K G ≫ K
II-3C（量子力学）
由两个大小为 1 / 2 1/2 1/2 s ^ 1 , s ^ 2 \hat{\mathbf s}_1,\hat{\mathbf s}_2 s ^ 1 , s ^ 2 J > 0 J>0 J > 0 0 ≤ x ≤ 1 0\le x\le1 0 ≤ x ≤ 1
H = ( 1 − x ) J s ^ 1 z s ^ 2 z + x J s ^ 1 ⋅ s ^ 2 . (B) \mathcal H=(1-x)J\hat s_1^z\hat s_2^z+xJ\hat{\mathbf s}_1\cdot\hat{\mathbf s}_2.\tag{B} H = ( 1 − x ) J s ^ 1 z s ^ 2 z + x J s ^ 1 ⋅ s ^ 2 . ( B ) 其中 s ^ 1 z , s ^ 2 z \hat s_1^z,\hat s_2^z s ^ 1 z , s ^ 2 z z z z
(1) 求 x = 0 x=0 x = 0 s ^ 1 z \hat s_1^z s ^ 1 z s ^ 2 z \hat s_2^z s ^ 2 z ± 1 / 2 \pm1/2 ± 1/2
(2) 求 x = 1 x=1 x = 1 S S S S ^ 2 \hat{\mathbf S}^2 S ^ 2 S ( S + 1 ) S(S+1) S ( S + 1 ) ( s ^ 1 + s ^ 2 ) 2 = s ^ 1 2 + s ^ 2 2 + 2 s ^ 1 ⋅ s ^ 2 (\hat{\mathbf s}_1+\hat{\mathbf s}_2)^2=\hat{\mathbf s}_1^2+\hat{\mathbf s}_2^2+2\hat{\mathbf s}_1\cdot\hat{\mathbf s}_2 ( s ^ 1 + s ^ 2 ) 2 = s ^ 1 2 + s ^ 2 2 + 2 s ^ 1 ⋅ s ^ 2
(3) 当 x x x x x x
II-3D（电磁学）
在图示坐标系 ( x , y , z ) (x,y,z) ( x , y , z ) z x zx z x x > 0 x>0 x > 0 y z yz yz y > 0 y>0 y > 0 Q Q Q ( a , b , 0 ) (a,b,0) ( a , b , 0 ) x x x y y y
(1) 求导体所分隔出的、包含点电荷 Q Q Q x > 0 x>0 x > 0 y > 0 y>0 y > 0
(2) 证明第 (1) 问所得电势在导体所在位置，即 z x zx z x x > 0 x>0 x > 0 y z yz yz y > 0 y>0 y > 0
Kai II-3A
(1)
関数は偶関数なので余弦級数となる。係数は
a 0 2 = 1 3 , a n = ∫ − 1 1 x 2 cos ( n π x ) d x = 4 ( − 1 ) n n 2 π 2 . \frac{a_0}{2}=\frac13,\qquad
a_n=\int_{-1}^1x^2\cos(n\pi x)\,dx=\frac{4(-1)^n}{n^2\pi^2}. 2 a 0 = 3 1 , a n = ∫ − 1 1 x 2 cos ( nπ x ) d x = n 2 π 2 4 ( − 1 ) n . したがって
f ( x ) = 1 3 + 4 π 2 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n n 2 cos ( n π x ) . \boxed{f(x)=\frac13+\frac4{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}\cos(n\pi x).} f ( x ) = 3 1 + π 2 4 n = 1 ∑ ∞ n 2 ( − 1 ) n cos ( nπ x ) . (2)
x = 1 x=1 x = 1 1 = 1 / 3 + ( 4 / π 2 ) ∑ n − 2 1=1/3+(4/\pi^2)\sum n^{-2} 1 = 1/3 + ( 4/ π 2 ) ∑ n − 2
∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = π 2 6 . \boxed{\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}{6}.} n = 1 ∑ ∞ n 2 1 = 6 π 2 . II-3B
変位の順序を ( x 1 , x 2 , x 3 ) (x_1,x_2,x_3) ( x 1 , x 2 , x 3 )
m x ¨ 1 = − ( K + G ) x 1 + G x 3 , m x ¨ 2 = − ( K + G ) x 2 + G x 3 , 2 m x ¨ 3 = G ( x 1 + x 2 ) − 2 G x 3 . \begin{aligned}
m\ddot x_1&=-(K+G)x_1+Gx_3,\\
m\ddot x_2&=-(K+G)x_2+Gx_3,\\
2m\ddot x_3&=G(x_1+x_2)-2Gx_3.
\end{aligned} m x ¨ 1 m x ¨ 2 2 m x ¨ 3 = − ( K + G ) x 1 + G x 3 , = − ( K + G ) x 2 + G x 3 , = G ( x 1 + x 2 ) − 2 G x 3 . 反対称モードは
Ω a 2 = K + G m , ( x 1 , x 2 , x 3 ) ∝ ( 1 , − 1 , 0 ) . \boxed{\Omega_a^2=\frac{K+G}{m},\qquad (x_1,x_2,x_3)\propto(1,-1,0).} Ω a 2 = m K + G , ( x 1 , x 2 , x 3 ) ∝ ( 1 , − 1 , 0 ) . 対称モードでは x 1 = x 2 = u x_1=x_2=u x 1 = x 2 = u x 3 = v x_3=v x 3 = v
( K + G − m Ω 2 − G − G G − m Ω 2 ) ( u v ) = 0. \begin{pmatrix}K+G-m\Omega^2&-G\\-G&G-m\Omega^2\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}=0. ( K + G − m Ω 2 − G − G G − m Ω 2 ) ( u v ) = 0. よって
Ω ± 2 = K + 2 G ± K 2 + 4 G 2 2 m , ( u , u , v ) ∝ ( 1 , 1 , K + G − m Ω ± 2 G ) . \boxed{\begin{aligned}
\Omega_\pm^2&=\frac{K+2G\pm\sqrt{K^2+4G^2}}{2m},\\
(u,u,v)&\propto\left(1,1,\frac{K+G-m\Omega_\pm^2}{G}\right).
\end{aligned}} Ω ± 2 ( u , u , v ) = 2 m K + 2 G ± K 2 + 4 G 2 , ∝ ( 1 , 1 , G K + G − m Ω ± 2 ) . G ≫ K G\gg K G ≫ K
Ω − ≃ K 2 m , ( 1 , 1 , 1 ) , Ω a ≃ G m , ( 1 , − 1 , 0 ) , Ω + ≃ 2 G m , ( 1 , 1 , − 1 ) . \begin{aligned}
\Omega_-&\simeq\sqrt{\frac K{2m}},\quad (1,1,1),\\
\Omega_a&\simeq\sqrt{\frac Gm},\quad (1,-1,0),\\
\Omega_+&\simeq\sqrt{\frac{2G}{m}},\quad (1,1,-1).
\end{aligned} Ω − Ω a Ω + ≃ 2 m K , ( 1 , 1 , 1 ) , ≃ m G , ( 1 , − 1 , 0 ) , ≃ m 2 G , ( 1 , 1 , − 1 ) . 普通の振動数を用いる場合は f j = Ω j / ( 2 π ) f_j=\Omega_j/(2\pi) f j = Ω j / ( 2 π )
II-3C
(1)
H = J s ^ 1 z s ^ 2 z H=J\hat s_1^z\hat s_2^z H = J s ^ 1 z s ^ 2 z J / 4 J/4 J /4 − J / 4 -J/4 − J /4
E = J / 4 ( 2 重 ) , E = − J / 4 ( 2 重 ) . \boxed{E=J/4\ (2\text{重}),\qquad E=-J/4\ (2\text{重}).} E = J /4 ( 2 重 ) , E = − J /4 ( 2 重 ) . (2)
H = J 2 [ S ^ 2 − 3 / 2 ] H=\frac J2[\hat{\mathbf S}^2-3/2] H = 2 J [ S ^ 2 − 3/2 ]
E = − 3 J / 4 ( S = 0 , 1 重 ) , E = J / 4 ( S = 1 , 3 重 ) . \boxed{E=-3J/4\ (S=0,\ 1\text{重}),\qquad E=J/4\ (S=1,\ 3\text{重}).} E = − 3 J /4 ( S = 0 , 1 重 ) , E = J /4 ( S = 1 , 3 重 ) . (3)
∣ ↑ ↑ ⟩ , ∣ ↓ ↓ ⟩ |\uparrow\uparrow\rangle,|\downarrow\downarrow\rangle ∣ ↑↑ ⟩ , ∣ ↓↓ ⟩ J / 4 J/4 J /4
J ( − 1 / 4 x / 2 x / 2 − 1 / 4 ) . J\begin{pmatrix}-1/4&x/2\\x/2&-1/4\end{pmatrix}. J ( − 1/4 x /2 x /2 − 1/4 ) . したがって
E s = − J 4 − J x 2 , E t , 0 = − J 4 + J x 2 , E t , ± 1 = J 4 . \boxed{E_{\rm s}=-\frac J4-\frac{Jx}{2},\qquad
E_{{\rm t},0}=-\frac J4+\frac{Jx}{2},\qquad E_{{\rm t},\pm1}=\frac J4.} E s = − 4 J − 2 J x , E t , 0 = − 4 J + 2 J x , E t , ± 1 = 4 J . 0 < x < 1 0<x<1 0 < x < 1 1 , 1 , 2 1,1,2 1 , 1 , 2
II-3D
(1)
鏡像電荷を ( − a , b , 0 ) (-a,b,0) ( − a , b , 0 ) − Q -Q − Q ( a , − b , 0 ) (a,-b,0) ( a , − b , 0 ) − Q -Q − Q ( − a , − b , 0 ) (-a,-b,0) ( − a , − b , 0 ) + Q +Q + Q
V ( x , y , z ) = Q 4 π ϵ 0 [ 1 ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 + z 2 − 1 ( x + a ) 2 + ( y − b ) 2 + z 2 − 1 ( x − a ) 2 + ( y + b ) 2 + z 2 + 1 ( x + a ) 2 + ( y + b ) 2 + z 2 ] . \boxed{\begin{aligned}
V(x,y,z)=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\biggl[&
\frac1{\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2+z^2}}\\
&-\frac1{\sqrt{(x+a)^2+(y-b)^2+z^2}}\\
&-\frac1{\sqrt{(x-a)^2+(y+b)^2+z^2}}\\
&+\frac1{\sqrt{(x+a)^2+(y+b)^2+z^2}}
\biggr].
\end{aligned}} V ( x , y , z ) = 4 π ϵ 0 Q [ ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 + z 2 1 − ( x + a ) 2 + ( y − b ) 2 + z 2 1 − ( x − a ) 2 + ( y + b ) 2 + z 2 1 + ( x + a ) 2 + ( y + b ) 2 + z 2 1 ] . (2)
x = 0 x=0 x = 0 y = 0 y=0 y = 0 V = 0 V=0 V = 0 V → 0 V\to0 V → 0
Reference 
