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京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2016年8月実施 問題III-1

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Author​

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description​

一次元量子系の粒子（質量 mm）が調和振動子のポテンシャル V0(x)V_0(x)

V0(x)=m2ω2x2(A)V_0(x)=\frac m2\omega^2x^2\tag{A}

に束縛されているとする。このとき次の問いに答えよ。

(1) 生成消滅演算子 a†,aa^\dagger,a を

a=mω2ℏx+i12ℏmωp,a†=mω2ℏx−i12ℏmωp(B)\begin{aligned} a&=\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}x+i\sqrt{\frac1{2\hbar m\omega}}p,\\ a^\dagger&=\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}x-i\sqrt{\frac1{2\hbar m\omega}}p \end{aligned}\tag{B}

のように座標 xx と運動量 p=−iℏ∂∂xp=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x} の線形結合として定義すると基底状態は a∣0⟩=0a|0\rangle=0 で定義される。これを利用して、束縛状態のエネルギー固有値が nn を0以上の整数として E=ℏω(n+1/2)E=\hbar\omega(n+1/2) で与えられることを導け。また、対応する（規格化された）エネルギー固有状態 ∣n⟩|n\rangle を基底状態 ∣0⟩|0\rangle に生成演算子 a†a^\dagger を作用させて構成せよ。

さて、一次元量子系のポテンシャルが

V(x,t)=m2ω2(x−η(t))2(C)V(x,t)=\frac m2\omega^2(x-\eta(t))^2\tag{C}

のように時間に依存して変化する場合における量子系の時間発展を調べたい。t<0t<0 においては、パラメーター η(t)\eta(t) は時間に依存しない定数 η0\eta_0 であり、量子系はポテンシャルが

V1(x)=m2ω2(x−η0)2(D)V_1(x)=\frac m2\omega^2(x-\eta_0)^2\tag{D}

で与えられるハミルトニアンの基底状態にあるものと仮定する。時刻 t=0t=0 以降 η(t)\eta(t) は時間に依存して変化する。このとき以下の問いに答えよ。

(2) 上記のように量子系が時間発展する場合に、座標 xx と運動量 pp の時刻 tt における期待値 xˉ(t)\bar x(t) と pˉ(t)\bar p(t) の時間発展を定める微分方程式を求めよ。

(3) 関数 η(t)\eta(t) が、次のような時刻 tt の一次関数（TT を正の定数として）

η(t)=η0(1−tT)(0<t<T)(E)\eta(t)=\eta_0\left(1-\frac tT\right)\qquad(0<t<T)\tag{E}

で与えられる場合を考える。また t=Tt=T 以降は η(t)=0\eta(t)=0 のままで変化しないとする。従って t>Tt>T ではポテンシャルが V0(x)=m2ω2x2V_0(x)=\frac m2\omega^2x^2 で与えられる調和振動子となる。このとき、任意の時刻 t(>0)t(>0) における期待値 xˉ(t)\bar x(t) と pˉ(t)\bar p(t) を決定せよ。

(4) 特に問 (3) において、TT が非常に大きい場合（時間変化が非常に遅い場合）を考える。この場合に時刻 t>Tt>T において、問題 (1) で定義したエネルギー固有状態 ∣n⟩|n\rangle が観測される確率 PnP_n を求めよ。

(5) 特に問 (3) において、TT が非常に小さい場合（時間変化が瞬時の場合）を考える。この場合に時刻 t>Tt>T において、問題 (1) で定義したエネルギー固有状態 ∣n⟩|n\rangle が観測される確率 PnP_n を求めよ。

(6) η(t)\eta(t) が η(0)=η0\eta(0)=\eta_0 を満たす一般の関数であるときに、xx と pp の期待値からのずれを表す (x−xˉ(t))2(x-\bar x(t))^2 と (p−pˉ(t))2(p-\bar p(t))^2 の期待値を計算し、不確定性原理との関係を述べよ。

题目描述​

设一维量子系统中质量为 mm 的粒子被束缚在谐振子势 V0(x)V_0(x) 中：

V0(x)=m2ω2x2.(A)V_0(x)=\frac m2\omega^2x^2.\tag{A}

回答以下问题。

(1) 将产生、湮灭算符 a†,aa^\dagger,a 定义为坐标 xx 和动量 p=−iℏ∂∂xp=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x} 的线性组合：

a=mω2ℏx+i12ℏmωp,a†=mω2ℏx−i12ℏmωp.(B)\begin{aligned} a&=\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}x+i\sqrt{\frac1{2\hbar m\omega}}p,\\ a^\dagger&=\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}x-i\sqrt{\frac1{2\hbar m\omega}}p. \end{aligned}\tag{B}

此时基态由 a∣0⟩=0a|0\rangle=0 定义。利用这一点，导出束缚态能量本征值为 E=ℏω(n+1/2)E=\hbar\omega(n+1/2)，其中 nn 为非负整数。并通过对基态 ∣0⟩|0\rangle 作用产生算符 a†a^\dagger，构造对应的归一化能量本征态 ∣n⟩|n\rangle。

接着研究一维量子系统的势随时间变化为

V(x,t)=m2ω2(x−η(t))2(C)V(x,t)=\frac m2\omega^2(x-\eta(t))^2\tag{C}

时的时间演化。在 t<0t<0 时，参数 η(t)\eta(t) 为不随时间变化的常数 η0\eta_0，并假设系统处于势为

V1(x)=m2ω2(x−η0)2(D)V_1(x)=\frac m2\omega^2(x-\eta_0)^2\tag{D}

的哈密顿量的基态。从 t=0t=0 开始，η(t)\eta(t) 随时间变化。回答下列问题。

(2) 在上述时间演化中，求决定坐标 xx 和动量 pp 在时刻 tt 的期望值 xˉ(t)\bar x(t)、pˉ(t)\bar p(t) 的微分方程。

(3) 设 TT 为正常数，函数 η(t)\eta(t) 在 0<t<T0<t<T 时是下述关于时间的一次函数：

η(t)=η0(1−tT)(0<t<T).(E)\eta(t)=\eta_0\left(1-\frac tT\right)\qquad(0<t<T).\tag{E}

从 t=Tt=T 开始保持 η(t)=0\eta(t)=0 不变。因此 t>Tt>T 时系统成为势为 V0(x)=m2ω2x2V_0(x)=\frac m2\omega^2x^2 的谐振子。确定任意时刻 t>0t>0 的期望值 xˉ(t)\bar x(t) 和 pˉ(t)\bar p(t)。

(4) 特别考虑第 (3) 问中 TT 非常大、即时间变化非常缓慢的情况。求在时刻 t>Tt>T 观测到第 (1) 问所定义的能量本征态 ∣n⟩|n\rangle 的概率 PnP_n。

(5) 特别考虑第 (3) 问中 TT 非常小、即时间变化瞬间完成的情况。求在时刻 t>Tt>T 观测到第 (1) 问所定义的能量本征态 ∣n⟩|n\rangle 的概率 PnP_n。

(6) 当 η(t)\eta(t) 是满足 η(0)=η0\eta(0)=\eta_0 的一般函数时，计算表示 x,px,p 相对其期望值的偏离的 (x−xˉ(t))2(x-\bar x(t))^2 和 (p−pˉ(t))2(p-\bar p(t))^2 的期望值，并说明与不确定性原理的关系。

Kai​

(1)​

[x,p]=iℏ[x,p]=i\hbar より [a,a†]=1[a,a^\dagger]=1、

H0=ℏω(a†a+12).H_0=\hbar\omega\left(a^\dagger a+\frac12\right).

したがって E0=ℏω/2E_0=\hbar\omega/2。また [H0,a†]=ℏωa†[H_0,a^\dagger]=\hbar\omega a^\dagger、⟨0∣an(a†)n∣0⟩=n!\langle0|a^n(a^\dagger)^n|0\rangle=n! なので

∣n⟩=(a†)nn!∣0⟩,En=ℏω(n+12),n=0,1,….\boxed{|n\rangle=\frac{(a^\dagger)^n}{\sqrt{n!}}|0\rangle,\qquad E_n=\hbar\omega\left(n+\frac12\right),\quad n=0,1,\ldots.}

(2)​

エーレンフェストの定理から

xˉ˙=pˉm,pˉ˙=−mω2[xˉ−η(t)].\boxed{\dot{\bar x}=\frac{\bar p}{m},\qquad \dot{\bar p}=-m\omega^2[\bar x-\eta(t)].}

初期条件は xˉ(0)=η0\bar x(0)=\eta_0、pˉ(0)=0\bar p(0)=0。

(3)​

0≤t≤T0\le t\le T では

xˉ(t)=η0(1−tT)+η0ωTsin⁡ωt,pˉ(t)=mη0T(cos⁡ωt−1).\boxed{\begin{aligned} \bar x(t)&=\eta_0\left(1-\frac tT\right)+\frac{\eta_0}{\omega T}\sin\omega t,\\ \bar p(t)&=\frac{m\eta_0}{T}(\cos\omega t-1). \end{aligned}}

t≥Tt\ge T では t=Tt=T での連続性を用いて

xˉ(t)=η0ωT[sin⁡ωt−sin⁡ω(t−T)],\boxed{\bar x(t)=\frac{\eta_0}{\omega T}[\sin\omega t-\sin\omega(t-T)],}
pˉ(t)=mη0T[cos⁡ωt−cos⁡ω(t−T)].\boxed{\bar p(t)=\frac{m\eta_0}{T}[\cos\omega t-\cos\omega(t-T)].}

(4)​

準位間隔は常に ℏω>0\hbar\omega>0 である。T→∞T\to\infty では断熱定理により系は瞬間的基底状態を保ち、終状態は位相因子を除いて ∣0⟩|0\rangle。したがって

Pn=δn0.\boxed{P_n=\delta_{n0}.}

(5)​

T→0T\to0 では状態ベクトルは瞬間的には変化しない。初期の変位した基底状態は、最終ポテンシャルの演算子 aa の固有状態であり、

a∣ψ(0)⟩=α0∣ψ(0)⟩,α0=mω2ℏη0.a|\psi(0)\rangle=\alpha_0|\psi(0)\rangle,\qquad \alpha_0=\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\eta_0.

∣ψ(0)⟩=∑ncn∣n⟩|\psi(0)\rangle=\sum_nc_n|n\rangle とおけば cn=α0nc0/n!c_n=\alpha_0^nc_0/\sqrt{n!}、規格化より ∣c0∣2=e−α02|c_0|^2=e^{-\alpha_0^2}。ゆえに

Pn=e−ΛΛnn!,Λ=mωη022ℏ.\boxed{P_n=e^{-\Lambda}\frac{\Lambda^n}{n!},\qquad \Lambda=\frac{m\omega\eta_0^2}{2\hbar}.}

(6)​

中心を差し引いたハイゼンベルク演算子 δx=x−xˉ\delta x=x-\bar x、δp=p−pˉ\delta p=p-\bar p は、駆動項によらず

δx(t)=δx(0)cos⁡ωt+δp(0)mωsin⁡ωt,\delta x(t)=\delta x(0)\cos\omega t+\frac{\delta p(0)}{m\omega}\sin\omega t,
δp(t)=δp(0)cos⁡ωt−mωδx(0)sin⁡ωt\delta p(t)=\delta p(0)\cos\omega t-m\omega\delta x(0)\sin\omega t

を満たす。初期基底状態では ⟨δx2⟩=ℏ/(2mω)\langle\delta x^2\rangle=\hbar/(2m\omega)、⟨δp2⟩=ℏmω/2\langle\delta p^2\rangle=\hbar m\omega/2、対称化共分散は零。よって任意の η(t)\eta(t) について

(Δx)2=ℏ2mω,(Δp)2=ℏmω2,ΔxΔp=ℏ2.\boxed{(\Delta x)^2=\frac\hbar{2m\omega},\qquad (\Delta p)^2=\frac{\hbar m\omega}{2},\qquad \Delta x\Delta p=\frac\hbar2.}

状態は位置・運動量を変位させたコヒーレント状態のままで、最小不確定性を保つ。

Reference​

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