京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2016年度 I-2

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• 京都大学
• 电容与静电能
• 传导电流与位移电流
• 坡印廷定理
• 旋转导体的动生电动势

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

真空の誘電率・透磁率を $\epsilon_0,\mu_0$ とし、マクスウェル方程式

$$\nabla\cdot\boldsymbol E=\rho/\epsilon_0,\quad\nabla\cdot\boldsymbol B=0,\quad \nabla\times\boldsymbol E=-\partial_t\boldsymbol B,\quad \nabla\times\boldsymbol B=\mu_0\boldsymbol j+\epsilon_0\mu_0\partial_t\boldsymbol E$$

を用いる。図1のように、半径 $a$ の十分広く薄い円板極板からなる平行板コンデンサーを、一定電圧 $V$ の電池につなぐ。極板間隔は $s(t)=d+h\sin\omega t$（$d>h>0$）。電場は極板間で一様、外部には漏れず、振動はゆっくりしていて、誘導磁場がさらに誘起する電場は無視できる。

1. ガウスの法則から時刻 $t$ の電気容量を求めよ。
2. 中心軸から距離 $r$ における交流磁場の向きと大きさを求めよ。
3. 電流がない固定領域の電磁エネルギー密度 $u=\epsilon_0E^2/2+B^2/(2\mu_0)$ の変化を表面上のベクトル $\boldsymbol S$ による流束で表し、$\boldsymbol S$ を求めよ。恒等式 $\nabla\cdot(\boldsymbol A\times\boldsymbol C)=\boldsymbol C\cdot\nabla\times\boldsymbol A-\boldsymbol A\cdot\nabla\times\boldsymbol C$ を用いてよい。
4. 極板間のエネルギー流の向きを図示し、大きさを求めよ。
5. $0\le t\le\pi/(2\omega)$ に極板間から流出するエネルギーを求め、蓄えられた静電エネルギーの変化と比較せよ。

次に、図2のように、半径 $A$、伝導度 $\sigma$、透磁率 $\mu_0$ の電荷を持たない長い金属円柱を考える。一様で一定の磁場は $\boldsymbol B=B\boldsymbol e_x$、円柱の軸は $z$ 軸。$+z$ 側から見て反時計回りに角速度 $\Omega$ で回す。端の効果、誘起電流の磁場、渦電流による補正は無視する。磁場なしでは摩擦なく回転する。

6. 回転により生じる有効電場の向きと大きさを、軸からの距離 $r$ と $x$ 軸からの角 $\theta$ で表せ。
7. 電流密度を求め、軸に垂直な断面で等電流面を図示せよ。
8. 回転を維持するための円柱単位長さあたりの仕事率を求めよ。

题目描述

真空参数为 $\epsilon_0,\mu_0$，使用麦克斯韦方程。如上图1，半径 $a$ 的薄圆盘平行板电容器一直连接恒压电池 $V$，极板间距 $s(t)=d+h\sin\omega t$，$d>h>0$。忽略边缘电场，内部电场均匀；振动足够慢，忽略变化磁场对电场的反馈。

1. 由高斯定律求电容。
2. 求离轴距离 $r$ 的交流磁场。
3. 对无电流的固定区域，由能量密度 $u=\epsilon_0E^2/2+B^2/(2\mu_0)$ 推导能流向量 $\boldsymbol S$。可用散度与旋度的叉积恒等式。
4. 画出板间能流方向并求大小。
5. 求从 $0$ 到 $\pi/(2\omega)$ 流出的能量，与静电储能变化比较。

如上图2，另有半径 $A$、电导率 $\sigma$、磁导率 $\mu_0$ 的无净电荷长金属圆柱，轴沿 $z$，置于 $\boldsymbol B=B\boldsymbol e_x$。从 $+z$ 看以角速度 $\Omega$ 逆时针旋转，忽略端部、感应电流磁场及涡电流修正，无磁场时无摩擦。

6. 用柱坐标 $r,\theta$ 表示旋转产生的有效电场，$\theta$ 从 $+x$ 量起。
7. 求电流密度并画出横截面内的等电流线。
8. 求维持旋转所需的单位轴长功率。

Kai

(1)

面電荷密度を $\sigma_q$ とすれば $E=\sigma_q/\epsilon_0$、$V=Es$、$Q=\pi a^2\sigma_q$ より

$$\boxed{C(t)=\frac{\epsilon_0\pi a^2}{s(t)}}.$$

(2)

板間電場の向きを $+z$ と選ぶと $E_z=V/s$。アンペール・マクスウェルの法則より

$$2\pi r B_\varphi=\epsilon_0\mu_0\dot E_z\pi\min(r^2,a^2).$$

したがって

$$\boxed{B_\varphi=-\frac{\epsilon_0\mu_0Vh\omega\cos\omega t}{2s^2} \begin{cases}r&(r\le a),\\a^2/r&(r>a).\end{cases}}$$

円周方向を向き、$\cos\omega t$ の符号が変わるたびに向きを反転する。

(3)

$$\partial_tu =\frac1{\mu_0}\left[\boldsymbol E\cdot(\nabla\times\boldsymbol B)-\boldsymbol B\cdot(\nabla\times\boldsymbol E)\right] =-\nabla\cdot\frac{\boldsymbol E\times\boldsymbol B}{\mu_0}.$$

よって

$$\boxed{\boldsymbol S=\frac1{\mu_0}\boldsymbol E\times\boldsymbol B,\qquad \frac d{dt}\int_{\mathcal V}u\,d^3x=-\oint_{\partial\mathcal V}\boldsymbol S\cdot d\boldsymbol A}.$$

(4)

$r\le a$ の板間では

$$\boxed{\boldsymbol S=\frac{\epsilon_0V^2r\dot s}{2s^3}\boldsymbol e_r =\frac{\epsilon_0V^2rh\omega\cos\omega t}{2s^3}\boldsymbol e_r}.$$

間隔が広がると中心軸から外向き、狭まると軸へ向かう放射状の流れとなる。

(5)

円筒側面を通る流出率は

$$P_{\rm out}=2\pi as\,S_r(a)=\frac{\epsilon_0\pi a^2V^2\dot s}{s^2}.$$

積分すると

$$\boxed{W_{\rm out}=\epsilon_0\pi a^2V^2\left(\frac1d-\frac1{d+h}\right)}.$$

一方、$U_E=CV^2/2$ なので

$$\boxed{\Delta U_E=-\frac12W_{\rm out}}.$$

流出量は静電エネルギー減少量の 2 倍である。極板間は移動境界を持つ領域なので、固定領域に対する (3) をそのまま用いて $W_{\rm out}=-\Delta U_E$ としてはいけない。準静的には $U_E\propto1/s$、移動境界が掃くエネルギー $u_E\pi a^2\dot s=P_{\rm out}/2$ が差を与える。

(6)

導体の速度は $\boldsymbol v=\Omega r\boldsymbol e_\theta$。電荷に働く磁気力を単位電荷あたりの有効電場として書くと

$$\boxed{\boldsymbol E_{\rm mot}=\boldsymbol v\times\boldsymbol B =-\Omega Br\cos\theta\,\boldsymbol e_z}.$$

$x>0$ で $-z$ 方向、$x<0$ で $+z$ 方向を向く。

(7)

$$\boxed{\boldsymbol j=-\sigma\Omega Bx\,\boldsymbol e_z =-\sigma\Omega Br\cos\theta\,\boldsymbol e_z}.$$

符号付きの $j_z$ が一定の面は $x=\text{一定}$。横断面では $y$ 軸に平行な弦の族となり、$x=0$ を境に電流が反転する。

(8)

単位長さあたりのジュール熱に等しい仕事率が必要である。

$$\boxed{\frac{P}{L}=\int_{x^2+y^2\le A^2}\frac{j^2}{\sigma}\,dx\,dy =\sigma\Omega^2B^2\int_0^Ar^3dr\int_0^{2\pi}\cos^2\theta\,d\theta =\frac\pi4\sigma\Omega^2B^2A^4}.$$

Reference

• 京都大学公式問題（2016年度、PDF 4–5ページ）