京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2016年度 I-1

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• 京都大学
• 刚体转动与滚动
• 刚体转动惯量
• 拉格朗日力学

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

図1のように、水平面 $F$ に、半径 $R$、長さ $L$、質量 $M$ の薄いパイプ $A$ が置かれている。壁の厚さを無視し、壁面の質量分布は一様とする。内壁には中心軸 $O$ と平行な長さ $L$、質量 $\alpha M$ の細い棒 $B$ が固定されている。棒の太さを無視し、質量分布は一様。重力加速度は鉛直下向きに $g$。複合体 $AB$ の平衡位置（棒が最下部にある位置）からの回転角を $\phi$ とする。各問で導出過程も示せ。

1. 重心を通り $O$ に平行な軸 $C$ のまわりの回転運動エネルギーを求めよ。
2. 複合体の全運動エネルギーを求めよ。
3. $\phi$ を一般化座標として、運動エネルギーと重力ポテンシャルからラグランジアンを求めよ。

以後、面は完全に粗く、複合体は滑らず転がり、エネルギー散逸はないものとする。

4. $\phi$ の運動方程式を求めよ。
5. $\phi$ が十分小さいときの周期運動と角振動数 $\omega$ を求めよ。
6. $t=0$ で $\phi=0$、中心軸 $O$ が軸に垂直な水平方向へ速度 $V$ で動くとする。振動から一方向の回転へ移る臨界初速 $V_0$ を求めよ。
7. $V>V_0$ に対して $\dot\phi$ を $\phi$ の関数としてグラフにし、運動の特徴を示せ。

题目描述

如上图1，水平面上有半径 $R$、长度 $L$、质量 $M$ 的均匀薄壁圆管。内壁固定一根平行于管轴、长 $L$、质量 $\alpha M$ 的均匀细杆，忽略管壁厚度和杆的粗细。重力加速度为 $g$，从细杆位于最低处的平衡位置量取转角 $\phi$。

1. 求绕通过质心且平行管轴的轴 $C$ 的转动动能。
2. 求总动能。
3. 以 $\phi$ 为广义坐标写出拉格朗日量。

后续假设表面完全粗糙、纯滚动且无能量损耗。

4. 求运动方程。
5. 求平衡位置附近微振动的角频率。
6. 初始 $\phi=0$，管轴沿垂直自身的水平方向以 $V$ 运动。求从往复振动转为单向连续转动的临界初速度。
7. 对超过临界值的情况画出 $\dot\phi(\phi)$ 并解释特点。

Kai

(1)

全質量を $m_T=(1+\alpha)M$ とおく。軸 $O$ から重心までの距離は $d=\alpha R/(1+\alpha)$。$I_O=(1+\alpha)MR^2$ と平行軸の定理から

$$I_C=I_O-m_Td^2=MR^2\frac{1+2\alpha}{1+\alpha}, \qquad\boxed{K_{\rm rot}=\frac{MR^2}{2}\frac{1+2\alpha}{1+\alpha}\dot\phi^2}.$$

(2)

中心 $O$ の水平座標を $X$ とする。$C$ の座標を $X-d\sin\phi,R-d\cos\phi$ と選べば

$$K=\frac12m_T\dot X^2-m_Td\dot X\dot\phi\cos\phi +\frac12(I_C+m_Td^2)\dot\phi^2.$$

滑らない条件 $\dot X=R\dot\phi$ を入れると

$$\boxed{K=MR^2(1+\alpha-\alpha\cos\phi)\dot\phi^2}.$$

(3)

平衡位置を位置エネルギーの基準にとると $U=\alpha MgR(1-\cos\phi)$。したがって、転がり条件で $\phi$ のみに縮約したラグランジアンは

$$\boxed{L=MR^2(1+\alpha-\alpha\cos\phi)\dot\phi^2-\alpha MgR(1-\cos\phi)}.$$

(4)

$$\boxed{2(1+\alpha-\alpha\cos\phi)\ddot\phi +\alpha\sin\phi\,\dot\phi^2+\frac{\alpha g}{R}\sin\phi=0}.$$

(5)

一次まで線形化すると $2\ddot\phi+\alpha g\phi/R=0$。よって

$$\boxed{\omega=\sqrt{\frac{\alpha g}{2R}}}\qquad(\alpha>0).$$

(6)

初期エネルギーは $MV^2$、ポテンシャル障壁の高さは $2\alpha MgR$。したがって

$$\boxed{V_0=\sqrt{2\alpha gR}}.$$

$V<V_0$ では折り返し点があり、$V>V_0$ では $\dot\phi$ がゼロにならず同じ向きに回り続ける。等号では不安定平衡 $\phi=\pi$ に漸近する分離軌道となる。

(7)

正方向の転がりに対してエネルギー保存から

$$\boxed{\dot\phi(\phi)=\frac1R \sqrt{\frac{V^2-\alpha gR(1-\cos\phi)}{1+\alpha-\alpha\cos\phi}}}.$$

$2\pi$ 周期で正、$\phi=2n\pi$ で最大 $V/R$、$\phi=(2n+1)\pi$ で最小

$$\dot\phi_{\min}=\frac1R\sqrt{\frac{V^2-2\alpha gR}{1+2\alpha}}>0$$

をとる。棒が上昇する半周期で減速し、下降する半周期で加速する。

Reference

• 京都大学公式問題（2016年度、PDF 2–3ページ）