京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2016年度 III-3

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• 玻色–爱因斯坦凝聚

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

相互作用しない質量 $m$ のボース粒子を三次元調和ポテンシャル

$$V_{\rm ext}=\frac m2(\omega_x^2x^2+\omega_y^2y^2+\omega_z^2z^2)$$

に閉じ込める。準位は $\epsilon_{\boldsymbol n}=\sum_{a=x,y,z}(n_a+1/2)\hbar\omega_a$、$n_a=0,1,2,\ldots$。温度 $T$、化学ポテンシャル $\mu$ で、$\beta=(k_BT)^{-1}$、$f(\epsilon)=[e^{\beta(\epsilon-\mu)}-1]^{-1}$、平均粒子数 $\mathcal N(T,\mu)=\sum_{\boldsymbol n}f(\epsilon_{\boldsymbol n})$ とする。

1. $f(\epsilon)=\sum_{\ell\ge1}e^{\ell\beta(\mu-\epsilon)}$ を用いて幾何級数和をとると

$$\mathcal N(T,\mu)=\sum_{\ell=1}^\infty e^{\ell\beta(\mu-3\hbar\omega_m/2)} h(\ell\beta\hbar\omega_x)h(\ell\beta\hbar\omega_y)h(\ell\beta\hbar\omega_z)$$

となる。$\omega_m=(\omega_x+\omega_y+\omega_z)/3$ とし、$h$ を求めよ。

全粒子数 $N$ は十分大きく固定する。基底状態の占有数を $N_0$、励起粒子数を $N'$ とすると $N=N_0+N'$、

$$N'=\sum_{\ell=1}^\infty e^{\ell\beta(\mu-3\hbar\omega_m/2)} \left[\prod_{a=x,y,z}h(\ell\beta\hbar\omega_a)-1\right].$$

2. $N_0$ を具体的に書き、$N_0\gg1$ のとき $\mu$ が近づく上限 $\mu_c$ を求めよ。

粒子数 $N_0$ と $N'$ の温度依存性は図1のようになる。BEC の転移温度を $N=N'(T_c,\mu_c)$ で定義する。

3. $\beta\hbar\omega_a\ll1$ とし、角括弧内の最初の二項から

$$N'=X\sum_{\ell=1}^\infty\widetilde z^\ell \left(\frac1{\ell^3}+\frac Y{\ell^2}\right),\qquad \widetilde z=e^{\beta(\mu-3\hbar\omega_m/2)}$$

を得る。$\Omega=(\omega_x\omega_y\omega_z)^{1/3}$ とし、$X,Y$ を $T,\omega_m,\Omega$ で表せ。$h(x)\simeq[x(1-x/2)]^{-1}$ を用いてよい。 4. 第一項のみの近似で転移温度 $T_c^{(0)}$ と、$T\le T_c^{(0)}$ での $N_0/N$ を求めよ。$\zeta(s)=\sum_{\ell\ge1}\ell^{-s}$ を用いてよい。 5. $T_c=T_c^{(0)}+\Delta T_c$ とし、$Y$ と $\Delta T_c/T_c^{(0)}$ の一次までで転移温度の相対変化を求めよ。 6. $\omega_x=\omega_y=\omega_z/8$、$\Omega=10^3\,\mathrm{s^{-1}}$ とする。温度のずれを 1% に抑える粒子数とそのときの $T_c$ を有効数字 1 桁で求めよ。$\hbar=6.58\times10^{-16}\,\mathrm{eV\,s}$、$k_B=8.62\times10^{-5}\,\mathrm{eV\,K^{-1}}$ を用いよ。

$s$	2	3	4
$\zeta(s)^{1/3}$	1.18	1.06	1.03
$\zeta(s)^{2/3}$	1.39	1.13	1.05
$\zeta(s)$	1.64	1.20	1.08

题目描述

无相互作用玻色粒子被三维谐振势 $V=m\sum_a\omega_a^2x_a^2/2$ 束缚，能级 $\epsilon_{\boldsymbol n}=\sum_a(n_a+1/2)\hbar\omega_a$。取 $\beta=1/(k_BT)$、玻色分布 $f(\epsilon)=1/[e^{\beta(\epsilon-\mu)}-1]$。

1. 将分布展开为 $\sum_{\ell\ge1}e^{\ell\beta(\mu-\epsilon)}$，对各 $n_a$ 求和，粒子数写为 $\sum_\ell e^{\ell\beta(\mu-3\hbar\omega_m/2)}\prod_a h(\ell\beta\hbar\omega_a)$，求 $h$；$\omega_m=(\omega_x+\omega_y+\omega_z)/3$。

固定很大的总粒子数 $N$，分为基态粒子数 $N_0$ 和激发态 $N'$，后者由上述乘积减 1 得到，两者随温度的变化如上图1所示。

2. 写出 $N_0$ 并求宏观占据时化学势趋近的上限 $\mu_c$。
3. 定义转变温度为 $N=N'(T_c,\mu_c)$。在 $\beta\hbar\omega_a\ll1$ 时展开前两项，写成 $N'=X\sum_\ell\widetilde z^\ell(\ell^{-3}+Y\ell^{-2})$，求 $X,Y$，其中 $\widetilde z=e^{\beta(\mu-3\hbar\omega_m/2)}$，$\Omega=(\omega_x\omega_y\omega_z)^{1/3}$。
4. 仅保留第一项求 $T_c^{(0)}$ 及其以下的凝聚占比，结果用黎曼 $\zeta$ 函数表示。
5. 保留第二项，一阶求 $\Delta T_c/T_c^{(0)}$。
6. 对 $\omega_x=\omega_y=\omega_z/8$、$\Omega=10^3\,\mathrm{s^{-1}}$，求温度偏移不超过 1% 所需粒子数及相应温度，保留一位有效数字。取 $\hbar=6.58\times10^{-16}\,\mathrm{eV\,s}$、$k_B=8.62\times10^{-5}\,\mathrm{eV/K}$；可用 $\zeta(2)=1.64$、$\zeta(3)=1.20$、$\zeta(3)^{1/3}=1.06$、$\zeta(3)^{2/3}=1.13$。

Kai

(1)

各方向について $\sum_{n=0}^\infty e^{-n x}=(1-e^{-x})^{-1}$ なので

$$\boxed{h(x)=\frac1{1-e^{-x}}}.$$

(2)

$$\boxed{N_0=\frac1{e^{\beta(3\hbar\omega_m/2-\mu)}-1},\qquad \mu_c=\frac32\hbar\omega_m}.$$

$\mu<\mu_c$ から上限に近づくと基底状態の占有数が大きくなる。

(3)

$h(x)=x^{-1}+1/2+O(x)$ なので、積の最初の二項は

$$\prod_ah(\ell\beta\hbar\omega_a) =\frac1{(\ell\beta\hbar)^3\Omega^3} +\frac{3\omega_m}{2(\ell\beta\hbar)^2\Omega^3}+\cdots.$$

従って

$$\boxed{X=\left(\frac{k_BT}{\hbar\Omega}\right)^3, \qquad Y=\frac{3\hbar\omega_m}{2k_BT}}.$$

(4)

転移点では $\widetilde z=1$。$N=X\zeta(3)$ より

$$\boxed{T_c^{(0)}=\frac{\hbar\Omega}{k_B}\left(\frac N{\zeta(3)}\right)^{1/3}}.$$

凝縮相では $\mu\simeq\mu_c$、$N'/N=(T/T_c^{(0)})^3$ だから

$$\boxed{\frac{N_0}{N}=1-\left(\frac T{T_c^{(0)}}\right)^3} \qquad(0\le T\le T_c^{(0)}).$$

(5)

$\delta=\Delta T_c/T_c^{(0)}$、$Y_0=3\hbar\omega_m/(2k_BT_c^{(0)})$ とする。一次までで

$$N=X_0[\zeta(3)(1+3\delta)+Y_0\zeta(2)]+O(Y_0^2).$$

$Y_0\delta$ は二次なので除き、

$$\boxed{\frac{\Delta T_c}{T_c^{(0)}} =-\frac{\zeta(2)}{2\zeta(3)^{2/3}}\frac{\omega_m}{\Omega}N^{-1/3}}.$$

有限粒子数の補正は転移温度を低下させる。

(6)

$\omega_z=4\Omega$、$\omega_x=\omega_y=\Omega/2$ なので $\omega_m/\Omega=5/3$。従って

$$N^{1/3}\ge\frac{1.64}{2\times1.13}\frac53\frac1{0.01}\simeq121, \qquad N_{\min}\simeq1.77\times10^6.$$

この閾値で

$$T_c\simeq0.99\frac{6.58\times10^{-16}\times10^3}{8.62\times10^{-5}} \frac{121}{1.06}\,\mathrm K\simeq8.6\times10^{-7}\,\mathrm K.$$

有効数字 1 桁では

$$\boxed{N\simeq2\times10^6,\qquad T_c\simeq9\times10^{-7}\,\mathrm K}.$$

Reference

• 京都大学公式問題（2016年度、PDF 20–22ページ）