京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2015年9月実施 III-2

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• 电偶极辐射
• 汤姆孙散射

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

マクスウェル方程式より、加速度運動をする荷電粒子から電磁波が放射されることが示される。非相対論的な速さ $u\;(\ll c)$（$c$ は光速）で運動する電子の加速度ベクトルを $\dot{\boldsymbol u}$ とする。図1のように、$\dot{\boldsymbol u}$ から角度 $\theta$ をなす方向の単位ベクトルを $\boldsymbol n$ としたとき、電子から $\boldsymbol n$ 方向に距離 $R$ だけ離れた観測位置における電磁波の電場は、近似的に

$$\boldsymbol E=\left[\frac{-e}{4\pi\epsilon_0Rc^2}\boldsymbol n\times(\boldsymbol n\times\dot{\boldsymbol u})\right]\tag{A}$$

と表せることが知られている。ここで $e\;(>0)$ は素電荷、$\epsilon_0$ は真空の誘電率である。$[\ ]$ 記号は、電子の位置から観測位置まで光速 $c$ で情報が伝達することを反映した「遅延時間」での値を表す。解答では、電子の位置の変動による遅延時間の違いは無視し、$[\ ]$ 記号は省略せよ。また、以下の問の全てについて、必要なら光速 $c$、真空の誘電率 $\epsilon_0$、素電荷 $e$、電子質量 $m$ を解答に含めよ。

(1) 観測位置における電磁波の磁場 $\boldsymbol B$ を、$\boldsymbol E$ と $\boldsymbol n$ を用いて表せ。

(2) ポインティングベクトル $\boldsymbol S=\epsilon_0c^2\boldsymbol E\times\boldsymbol B$ が単位時間・単位面積あたりのエネルギー流束（フラックス）であることに留意し、$\boldsymbol n$ 方向に観測される単位立体角あたりの放射強度 $dP/d\Omega\;(\mathrm{J\,s^{-1}\,str^{-1}})$ を $\dot u,\theta$ を用いて表せ。さらに全方向で積分した放射強度 $P\;(\mathrm{J\,s^{-1}})$ を求めよ。

(3) 図2のように、$(x,y,z)=(0,0,0)$ の位置にある自由電子に、原点における電場が $\boldsymbol E=(0,0,E_0\sin(\omega t))$ で表される角振動数 $\omega$ の直線偏光した電磁波が、$x$ 軸正方向へ向かって入射する場合（$z$ 軸方向への直線偏光）を考えよう。電子が加速度運動を行なう結果、入射方向とは異なる方向にも電磁波が放射される（トムソン散乱）。微分散乱断面積 $d\sigma_T/d\Omega$ は、時間平均した単位立体角あたりの散乱光の放射強度を、時間平均した入射光のフラックスで割った値として定義される。$x$–$z$ 平面内にあり、$z$ 軸から角度 $\psi$ をなす方向の単位ベクトルを $\boldsymbol n'$ とする。問 (2) の結果を使い、$\boldsymbol n'$ 方向への散乱光の、1周期で時間平均した単位立体角あたりの放射強度を、$\psi$ と $E_0$ を用いて表せ。次に、それを1周期で時間平均した入射フラックスと比較することで、微分散乱断面積 $d\sigma_T/d\Omega$ を $\psi$ の関数として求めよ。ただし、電磁波の磁場によるローレンツ力と、放射による電子のエネルギー損失は無視する。

(4) 同様に、原点における電場が $\boldsymbol E=(0,E_0\sin(\omega t),0)$ で表される直線偏光した電磁波が、$x$ 軸正方向へ向かって入射する場合（$y$ 軸方向への直線偏光）を考える。問 (3) で定義した $\boldsymbol n'$ 方向の微分散乱断面積を求めよ。

(5) 同様に、$z$ 軸方向と $y$ 軸方向に直線偏光した同じ強度の電磁波が、時間的に等確率でランダムに入れ替わりながら $x$ 軸正方向へ向かって入射する場合について、$\boldsymbol n'$ 方向の微分散乱断面積を求めよ。測定する時間は電磁波の入れ替わりの時間間隔より十分長いとし、時間平均を考えること（このときの入射光は完全無偏光とみなせる）。また、$\psi=0$ および $\psi=\pi/2$ の時に、散乱光が直線偏光しているかどうかを述べよ。

(6) 直線偏光フィルターとは、フィルターの特定な軸（偏光軸）に平行な偏光成分のみを透過させる光学素子である。図3のように、完全無偏光の電磁波を等方的に放射する中心光源を、$x$ 軸方向に長い直方体の形をした一様密度のトムソン散乱体が囲っている系を考える。$z$ 軸方向遠方より、この系全体から放射される電磁波を直線偏光フィルターを通して見た場合、強度が最大になるのはフィルターの偏光軸がどの軸に平行なときか、理由とともに述べよ。ただし、散乱は最大1回のみ起こるとし、吸収は無視せよ。

(7) 大きさ $B$ の一様磁場の中に、非相対論的な速さ $v$ をもつ電子群が入射する場合を考える。その結果、磁場に巻き付いて電子はらせん運動を行なう。速度と磁場のなす角が完全にランダムとして平均した場合、電子1個あたりから放射される放射強度（$\mathrm{J\,s^{-1}}$）を $B,v$ を用いて表せ。

题目描述

由麦克斯韦方程可知，作加速运动的带电粒子会发射电磁波。设以非相对论速率 $u\;(\ll c)$（$c$ 为光速）运动的电子，其加速度矢量为 $\dot{\boldsymbol u}$。如图1，令 $\boldsymbol n$ 为与加速度成角 $\theta$ 的方向的单位矢量，则沿该方向距电子 $R$ 的观测点处，辐射电场近似为

$$\boldsymbol E=\left[\frac{-e}{4\pi\epsilon_0Rc^2}\boldsymbol n\times(\boldsymbol n\times\dot{\boldsymbol u})\right].\tag{A}$$

其中 $e\;(>0)$ 为元电荷，$\epsilon_0$ 为真空介电常数。方括号 $[\ ]$ 表示在“推迟时间”的取值，反映信息从电子位置以光速 $c$ 传播到观测位置。解答时忽略电子位置变化导致的推迟时间差，并省略方括号。以下各问如有需要，可在答案中使用 $c,\epsilon_0,e$ 和电子质量 $m$。

(1) 用 $\boldsymbol E,\boldsymbol n$ 表示观测点处电磁波的磁场 $\boldsymbol B$。

(2) 注意坡印廷矢量 $\boldsymbol S=\epsilon_0c^2\boldsymbol E\times\boldsymbol B$ 是单位时间、单位面积的能量通量，用 $\dot u,\theta$ 表示沿 $\boldsymbol n$ 方向观测到的单位立体角辐射强度 $dP/d\Omega\;(\mathrm{J\,s^{-1}\,str^{-1}})$。再对所有方向积分，求总辐射强度 $P\;(\mathrm{J\,s^{-1}})$。

(3) 如图2，位于原点 $(x,y,z)=(0,0,0)$ 的自由电子受到沿 $x$ 轴正方向入射、角频率为 $\omega$ 的线偏振电磁波照射。原点处电场为 $\boldsymbol E=(0,0,E_0\sin(\omega t))$，即沿 $z$ 轴线偏振。电子作加速运动，因而向不同于入射方向的方向也发射电磁波，这称为汤姆孙散射。微分散射截面 $d\sigma_T/d\Omega$ 定义为时间平均的单位立体角散射光辐射强度除以时间平均的入射光通量。令 $\boldsymbol n'$ 为 $x$–$z$ 平面内与 $z$ 轴成角 $\psi$ 的单位矢量。利用问 (2)，用 $\psi,E_0$ 表示沿 $\boldsymbol n'$ 方向散射光在一个周期内平均的单位立体角辐射强度；再将其与一个周期内平均的入射通量比较，求作为 $\psi$ 的函数的微分散射截面。忽略电磁波磁场产生的洛伦兹力及电子因辐射而损失的能量。

(4) 同样考虑沿 $x$ 轴正方向入射、原点电场为 $\boldsymbol E=(0,E_0\sin(\omega t),0)$ 的电磁波，即沿 $y$ 轴线偏振。求沿问 (3) 定义的 $\boldsymbol n'$ 方向的微分散射截面。

(5) 考虑相同强度、分别沿 $z$ 轴与 $y$ 轴线偏振的电磁波，在时间上以相等概率随机交替，沿 $x$ 轴正方向入射的情况。求沿 $\boldsymbol n'$ 方向的微分散射截面。测量时间远大于偏振切换的时间间隔，须取时间平均；此时入射光可视为完全非偏振光。另说明在 $\psi=0$ 及 $\psi=\pi/2$ 时散射光是否为线偏振光。

(6) 线偏振滤光片是仅让平行于其特定轴（偏振轴）的偏振分量透过的光学元件。如图3，一个各向同性发射完全非偏振电磁波的中心光源，被沿 $x$ 轴较长、具有均匀密度的长方体汤姆孙散射体包围。从 $z$ 轴方向远处，透过线偏振滤光片观察整个系统发射的电磁波时，滤光片偏振轴平行于哪条轴可使强度最大？说明理由。设散射最多发生一次，忽略吸收。

(7) 考虑一群具有非相对论速率 $v$ 的电子进入大小为 $B$ 的均匀磁场。电子由此绕磁场作螺旋运动。若速度与磁场的夹角完全随机并对此取平均，用 $B,v$ 表示每个电子的平均辐射强度（$\mathrm{J\,s^{-1}}$）。

Kai

(1)

放射場は横波なので

$$\boxed{\boldsymbol B=\frac1c\boldsymbol n\times\boldsymbol E}.$$

(2)

$E=e|\dot{\boldsymbol u}|\sin\theta/(4\pi\epsilon_0Rc^2)$、$\boldsymbol S=\epsilon_0cE^2\boldsymbol n$ より

$$\boxed{\frac{dP}{d\Omega}=R^2\boldsymbol S\cdot\boldsymbol n =\frac{e^2|\dot{\boldsymbol u}|^2}{16\pi^2\epsilon_0c^3}\sin^2\theta}.$$

$\int\sin^2\theta\,d\Omega=8\pi/3$ だから

$$\boxed{P=\frac{e^2|\dot{\boldsymbol u}|^2}{6\pi\epsilon_0c^3}}.$$

(3)

$m\dot{\boldsymbol u}=-e\boldsymbol E$、$\langle\sin^2\omega t\rangle=1/2$ より

$$\boxed{\left\langle\frac{dP}{d\Omega}\right\rangle =\frac{e^4E_0^2}{32\pi^2\epsilon_0m^2c^3}\sin^2\psi}.$$

平均入射フラックスは $\langle S_{\rm in}\rangle=\epsilon_0cE_0^2/2$。古典電子半径 $r_e=e^2/(4\pi\epsilon_0mc^2)$ を導入すれば

$$\boxed{\frac{d\sigma_T}{d\Omega}=r_e^2\sin^2\psi}.$$

(4)

$y$ 向きの加速度は $xz$ 面内の観測方向に常に垂直なので

$$\boxed{\frac{d\sigma_T}{d\Omega}=r_e^2}.$$

(5)

二つの強度を平均し

$$\boxed{\frac{d\sigma_T}{d\Omega}=\frac{r_e^2}{2}(1+\sin^2\psi)}.$$

$\psi=0$ では $z$ 偏光の寄与がゼロ、散乱光は $y$ 方向に完全直線偏光する。$\psi=\pi/2$ では二つの直交偏光が等強度となり、無偏光である。

(6)

$$\boxed{\text{偏光軸を }y\text{ 軸に平行にする。}}$$

$x$ 方向へ出た光は、$z$ 方向への散乱で $y$ 偏光として観測される。$y$ 方向へ出た光からは逆に $x$ 偏光が得られるが、散乱体は $x$ 方向に長いため前者の寄与が大きい。より一般に入射方向を $\boldsymbol n$ とすれば、$z$ 向き散乱光の $y,x$ 偏光強度差は $n_x^2-n_y^2$ に比例し、長軸に沿う領域の積分が $y$ 偏光を優勢にする。

(7)

速度と磁場の角を $\vartheta$ とすると

$$|\dot{\boldsymbol u}|=\frac{evB}{m}\sin\vartheta.$$

方向が等方的なら

$$\langle\sin^2\vartheta\rangle=\frac12\int_{-1}^1(1-u^2)\,du=\frac23.$$

従って

$$\boxed{\langle P\rangle=\frac{e^4v^2B^2}{9\pi\epsilon_0m^2c^3}}.$$

Reference

• 京都大学公式問題（2016年度、PDF 18–19ページ）