京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2015年8月実施 I-2

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• 电容与静电能
• 传导电流与位移电流
• 坡印廷定理
• 旋转导体的动生电动势

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

電気を流す導体が運動したときに誘起される電場、磁場、電流について考察してみよう。真空中で電場 $\boldsymbol E$、磁場 $\boldsymbol B$ の満たすマクスウェル方程式は、$\epsilon_0,\mu_0$ をそれぞれ真空の誘電率と透磁率、$\rho$ を電荷密度、$\boldsymbol j$ を電流密度として、

$$\nabla\cdot\boldsymbol E=\frac\rho{\epsilon_0},\tag{A}$$

$$\nabla\cdot\boldsymbol B=0,\tag{B}$$

$$\nabla\times\boldsymbol E=-\frac{\partial\boldsymbol B}{\partial t},\tag{C}$$

$$\nabla\times\boldsymbol B=\mu_0\boldsymbol j+\epsilon_0\mu_0\frac{\partial\boldsymbol E}{\partial t}\tag{D}$$

で与えられるものとする。以下の設問に答えよ。ただし解答に際しては、その導出過程も示すこと。

まず、導体の運動により誘起される電場と磁場について考察する。半径 $a$ の円板状で十分に広くて薄い金属極板を持った平行板コンデンサーが、一定の直流電圧 $V$ の電池に接続されている（図1）。極板の厚みは十分に薄く無視できる。またコンデンサー内に発生する電場はコンデンサー外部には漏れないものとする。電池をつないだまま、コンデンサーの極板間の距離を $d+h\sin\omega t\;(d>h)$ で振動させた。このとき金属極板の振動により、コンデンサー内部に交流磁場が発生する。発生した交流磁場により誘起される電場の効果は無視できる程度に、極板の振動はゆっくりしているものとし、コンデンサー内の電場は一様であると近似できるとする。

(1) 式 (A) で与えられるガウスの法則を、金属極板にあてはめることにより、時刻 $t$ でのコンデンサーの容量を求めよ。

(2) コンデンサーの中心軸からの距離 $r$ の点における、時刻 $t$ での交流磁場の方向と大きさを求めよ。

(3) 真空中の単位体積あたりの電磁場のエネルギーは、$\frac{\epsilon_0}{2}|\boldsymbol E|^2+\frac1{2\mu_0}|\boldsymbol B|^2$ と書ける。マクスウェル方程式により、電流が存在しないとき、閉じた空間の電磁場のエネルギーの時間変化は、その空間の表面を通過するベクトル $\boldsymbol S$ を使って表すことができることを示し、$\boldsymbol S$ を $\boldsymbol E$ と $\boldsymbol B$ を用いて表せ。なお、必要ならば任意のベクトル $\boldsymbol A$ と $\boldsymbol C$ について成り立つ関係式、

$$\nabla\cdot(\boldsymbol A\times\boldsymbol C)=\boldsymbol C\cdot(\nabla\times\boldsymbol A)-\boldsymbol A\cdot(\nabla\times\boldsymbol C)$$

を用いよ。

(4) 極板間に発生する電磁場のエネルギーの流れの向きを図で示し、その大きさを求めよ。

(5) 電磁場のエネルギーの流れにより、時刻 $t=0$ から $t=\pi/(2\omega)$ の間に、極板間の空間から外に流れ出た電磁場のエネルギーを求めよ。さらにこのエネルギーと、コンデンサーに蓄えられている静電エネルギーの、$t=0$ から $t=\pi/(2\omega)$ の間の変化との大小関係を議論せよ。

次に、磁場中を運動する導体に誘起される電場と電流を考察する。半径 $A$、電気伝導度 $\sigma$ の金属円柱が、中心軸に垂直な方向の一様で一定の磁場 $\boldsymbol B$ の中で、一定の角速度 $\Omega$ で中心軸のまわりを回転している（図2）。磁場方向を $x$ 軸、中心軸方向を $z$ 軸、回転方向を $z$ 軸正方向から見て反時計回りとする。なお、円柱は十分に長く端の効果は考えなくてもよいものとし、磁場のないときには中心軸まわりに摩擦なく自由に回転できるものとする。また金属の透磁率は $\mu_0$ とする。なお、金属円柱は帯電していないものとする。

(6) 一定の磁場中で、導体が運動すると導体内部に電場が発生する。電場の方向と大きさを中心軸からの距離 $r$ と $x$ 軸から測った角度 $\theta$ の関数として表せ。なお、誘起される電流により生ずる磁場の影響と渦電流の効果は無視してよい。

(7) 問 (6) のとき、円柱の中心軸に垂直な断面における電流密度を $r,\theta$ の関数として求め、この断面における等電流面を図示せよ。

(8) 一定の角速度 $\Omega$ で回転させるために必要な、円柱の単位長さあたりの仕事率を求めよ。

题目描述

考虑通电导体运动时产生的感应电场、磁场和电流。设真空中电场 $\boldsymbol E$ 和磁场 $\boldsymbol B$ 满足麦克斯韦方程，其中 $\epsilon_0,\mu_0$ 分别为真空介电常数和磁导率，$\rho$ 为电荷密度，$\boldsymbol j$ 为电流密度：

$$\nabla\cdot\boldsymbol E=\frac\rho{\epsilon_0},\tag{A}$$

$$\nabla\cdot\boldsymbol B=0,\tag{B}$$

$$\nabla\times\boldsymbol E=-\frac{\partial\boldsymbol B}{\partial t},\tag{C}$$

$$\nabla\times\boldsymbol B=\mu_0\boldsymbol j+\epsilon_0\mu_0\frac{\partial\boldsymbol E}{\partial t}.\tag{D}$$

回答下列问题，并写出推导过程。

首先考虑导体运动引起的感应电场和磁场。一个由半径为 $a$、足够宽且薄的金属圆盘极板组成的平行板电容器，连接在直流电压恒为 $V$ 的电池上（图1）。极板厚度足够小，可忽略不计。电容器内部产生的电场不会泄漏到外部。保持电池连接，使极板间距按 $d+h\sin\omega t\;(d>h)$ 振动。金属极板的振动使电容器内部产生交流磁场。设极板振动足够缓慢，以致可忽略该交流磁场进一步感应出的电场，并将电容器内的电场近似为均匀场。

(1) 对金属极板应用式 (A) 的高斯定律，求时刻 $t$ 的电容。

(2) 求距电容器中心轴为 $r$ 的位置在时刻 $t$ 的交流磁场方向和大小。

(3) 真空中单位体积的电磁场能量可写为 $\frac{\epsilon_0}{2}|\boldsymbol E|^2+\frac1{2\mu_0}|\boldsymbol B|^2$。根据麦克斯韦方程，证明在不存在电流时，封闭空间内电磁场能量随时间的变化可以用穿过该空间表面的向量 $\boldsymbol S$ 表示，并用 $\boldsymbol E,\boldsymbol B$ 表示 $\boldsymbol S$。必要时可使用对任意向量 $\boldsymbol A,\boldsymbol C$ 成立的恒等式

$$\nabla\cdot(\boldsymbol A\times\boldsymbol C)=\boldsymbol C\cdot(\nabla\times\boldsymbol A)-\boldsymbol A\cdot(\nabla\times\boldsymbol C).$$

(4) 画图表示极板间电磁场能量流动的方向，并求其大小。

(5) 求由电磁能流在 $t=0$ 至 $t=\pi/(2\omega)$ 期间从极板间空间流出的电磁场能量。进一步讨论该能量与同一时间区间内电容器储存的静电能变化之间的大小关系。

接着考虑在磁场中运动的导体内感应出的电场与电流。一根半径为 $A$、电导率为 $\sigma$ 的金属圆柱，在垂直于其中心轴的均匀恒定磁场 $\boldsymbol B$ 中，以恒定角速度 $\Omega$ 绕中心轴旋转（图2）。取磁场方向为 $x$ 轴、中心轴方向为 $z$ 轴，旋转方向为从 $z$ 轴正方向看逆时针。圆柱足够长，可忽略端部效应；无磁场时，可绕中心轴无摩擦地自由转动。金属的磁导率为 $\mu_0$，金属圆柱不带电。

(6) 导体在恒定磁场中运动时，其内部产生电场。将电场的方向和大小表示为距中心轴的距离 $r$ 及从 $x$ 轴量取的角度 $\theta$ 的函数。可以忽略感应电流所产生磁场的影响和涡流效应。

(7) 在问 (6) 的条件下，将圆柱横截面（垂直于中心轴）内的电流密度表示为 $r,\theta$ 的函数，并画出该截面内的等电流面。

(8) 求使圆柱以恒定角速度 $\Omega$ 旋转所需的单位长度功率。

Kai

(1)

面電荷密度を $\sigma_q$ とすれば $E=\sigma_q/\epsilon_0$、$V=Es$、$Q=\pi a^2\sigma_q$ より

$$\boxed{C(t)=\frac{\epsilon_0\pi a^2}{s(t)}}.$$

(2)

板間電場の向きを $+z$ と選ぶと $E_z=V/s$。アンペール・マクスウェルの法則より

$$2\pi r B_\varphi=\epsilon_0\mu_0\dot E_z\pi\min(r^2,a^2).$$

したがって

$$\boxed{B_\varphi=-\frac{\epsilon_0\mu_0Vh\omega\cos\omega t}{2s^2} \begin{cases}r&(r\le a),\\a^2/r&(r>a).\end{cases}}$$

円周方向を向き、$\cos\omega t$ の符号が変わるたびに向きを反転する。

(3)

$$\partial_tu =\frac1{\mu_0}\left[\boldsymbol E\cdot(\nabla\times\boldsymbol B)-\boldsymbol B\cdot(\nabla\times\boldsymbol E)\right] =-\nabla\cdot\frac{\boldsymbol E\times\boldsymbol B}{\mu_0}.$$

よって

$$\boxed{\boldsymbol S=\frac1{\mu_0}\boldsymbol E\times\boldsymbol B,\qquad \frac d{dt}\int_{\mathcal V}u\,d^3x=-\oint_{\partial\mathcal V}\boldsymbol S\cdot d\boldsymbol A}.$$

(4)

$r\le a$ の板間では

$$\boxed{\boldsymbol S=\frac{\epsilon_0V^2r\dot s}{2s^3}\boldsymbol e_r =\frac{\epsilon_0V^2rh\omega\cos\omega t}{2s^3}\boldsymbol e_r}.$$

間隔が広がると中心軸から外向き、狭まると軸へ向かう放射状の流れとなる。

(5)

円筒側面を通る流出率は

$$P_{\rm out}=2\pi as\,S_r(a)=\frac{\epsilon_0\pi a^2V^2\dot s}{s^2}.$$

積分すると

$$\boxed{W_{\rm out}=\epsilon_0\pi a^2V^2\left(\frac1d-\frac1{d+h}\right)}.$$

一方、$U_E=CV^2/2$ なので

$$\boxed{\Delta U_E=-\frac12W_{\rm out}}.$$

流出量は静電エネルギー減少量の 2 倍である。極板間は移動境界を持つ領域なので、固定領域に対する (3) をそのまま用いて $W_{\rm out}=-\Delta U_E$ としてはいけない。準静的には $U_E\propto1/s$、移動境界が掃くエネルギー $u_E\pi a^2\dot s=P_{\rm out}/2$ が差を与える。

(6)

導体の速度は $\boldsymbol v=\Omega r\boldsymbol e_\theta$。電荷に働く磁気力を単位電荷あたりの有効電場として書くと

$$\boxed{\boldsymbol E_{\rm mot}=\boldsymbol v\times\boldsymbol B =-\Omega Br\cos\theta\,\boldsymbol e_z}.$$

$x>0$ で $-z$ 方向、$x<0$ で $+z$ 方向を向く。

(7)

$$\boxed{\boldsymbol j=-\sigma\Omega Bx\,\boldsymbol e_z =-\sigma\Omega Br\cos\theta\,\boldsymbol e_z}.$$

符号付きの $j_z$ が一定の面は $x=\text{一定}$。横断面では $y$ 軸に平行な弦の族となり、$x=0$ を境に電流が反転する。

(8)

単位長さあたりのジュール熱に等しい仕事率が必要である。

$$\boxed{\begin{gathered} \frac{P}{L}=\int_{x^2+y^2\le A^2}\frac{j^2}{\sigma}\,dx\,dy\\ =\sigma\Omega^2B^2\int_0^Ar^3dr\int_0^{2\pi}\cos^2\theta\,d\theta\\ =\frac\pi4\sigma\Omega^2B^2A^4 \end{gathered}}.$$

Reference

• 京都大学公式問題（2016年度、PDF 4–5ページ）