京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2015年8月実施 II-1

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• 京都大学
• 二体有心力问题与有效势
• 径向微振动
• 简正模与耦合振子

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

2次元平面に束縛された、中心力場中の質点の運動について考える。中心力ポテンシャル $\Phi$ は、中心からの距離 $r$ のべき関数として $\Phi(r)=-C/r^\alpha$ のように表せる（$C>0$ とする）。質点の質量を1として、以下の各問に答えよ。

(1) 質点の運動を表すラグランジアンを、極座標表示における一般化座標 $(r,\phi)$ を用いて書き下し、$(r,\phi)$ が満たす運動方程式を導出せよ。

(2) 保存量があることを用いて、$r$ の運動方程式が $\ddot r+dV_{\mathrm{eff}}(r)/dr=0$ と表せることを示し、関数 $V_{\mathrm{eff}}(r)$ を保存量とポテンシャル $\Phi(r)$ で書き表せ。ただし、$\lim_{r\to\infty}V_{\mathrm{eff}}(r)=0$ とする。

(3) 質点の運動が半径 $r_0$、角速度 $\Omega_0$ の等速円運動で表される場合を考える。この時、$\Omega_0$ を $C,\alpha,r_0$ を用いて表せ。また、この円運動が安定に存在するために、$\alpha$ が満たす条件を求めよ（ここでは、$r$ 方向の微小摂動に対して、変位が微小に留まる場合を安定、時間とともに増大する場合を不安定という）。

以下では、$\alpha$ は前問で求めた条件を満たすとし、半径 $r_0$、角速度 $\Omega_0$ の円運動まわりの摂動について考える。

(4) 円運動からの微小変位を次のように表す：

$$r=r_0(1+\epsilon x),\quad\phi=\Omega_0t+\epsilon y.\tag{A}$$

ここで、$\epsilon$ は振幅の大きさを表す無次元の微小量である（$\epsilon\ll1$）。(A) 式を問 (1) で求めた運動方程式に代入し、$\epsilon$ の1次のオーダーで成り立つ式を書き下すと、以下のような摂動方程式が得られる：

$$\begin{pmatrix}\ddot x\\\ddot y\end{pmatrix} +\mathsf M\begin{pmatrix}\dot x\\\dot y\end{pmatrix} +\mathsf N\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\boldsymbol0.\tag{B}$$

行列 $\mathsf M,\mathsf N$ を角速度 $\Omega_0$ と $\alpha$ を用いて表わせ。

(5) 前問で得られた摂動方程式 (B) において、振動解 $(x,y)=(A,B)e^{i\omega t}$ を仮定する。$\omega\ne0$ の場合に、振動数 $\omega$ と角速度 $\Omega_0$ の間に成り立つ関係を導け。

(6) 摂動方程式 (B) の右辺に、$(f_x,f_y)=-k(x,y)$ という力がつけ加わったとする。これは質点つきのバネ（バネ定数 $k$）を半径 $r=r_0$ にとりつけて等速回転させた場合に対応する。振動解 $(x,y)=(A,B)e^{i\omega t}$ を仮定して、振動数 $\omega$ を求めると、バネ定数 $k$ が正でも $\omega$ が純虚数になり、解が指数関数的に増大する場合がある（つまり不安定）。解が指数関数的に増大する条件を、バネ定数に対する条件として $\Omega_0$ を用いて表せ。

题目描述

考虑限制在二维平面内、处于中心力场中的质点运动。中心力势 $\Phi$ 是距中心距离 $r$ 的幂函数，可表示为 $\Phi(r)=-C/r^\alpha$，其中 $C>0$。取质点质量为1，回答以下问题。

(1) 用极坐标中的广义坐标 $(r,\phi)$ 写出描述质点运动的拉格朗日量，并推导 $(r,\phi)$ 满足的运动方程。

(2) 利用存在守恒量这一事实，证明 $r$ 的运动方程可表示为 $\ddot r+dV_{\mathrm{eff}}(r)/dr=0$，并用守恒量和势函数 $\Phi(r)$ 表示 $V_{\mathrm{eff}}(r)$。要求 $\lim_{r\to\infty}V_{\mathrm{eff}}(r)=0$。

(3) 考虑质点作半径 $r_0$、角速度 $\Omega_0$ 的匀速圆周运动。用 $C,\alpha,r_0$ 表示 $\Omega_0$，并求该圆周运动能够稳定存在时 $\alpha$ 应满足的条件。这里，对 $r$ 方向的微小扰动，位移始终保持微小时称为稳定，随时间增大时称为不稳定。

以下假设 $\alpha$ 满足上一问求得的条件，考虑半径 $r_0$、角速度 $\Omega_0$ 的圆周运动附近的扰动。

(4) 将偏离圆周运动的微小位移表示为

$$r=r_0(1+\epsilon x),\quad\phi=\Omega_0t+\epsilon y.\tag{A}$$

其中 $\epsilon$ 为表示振幅大小的无量纲小量（$\epsilon\ll1$）。将式 (A) 代入问 (1) 的运动方程，保留 $\epsilon$ 的一阶项，可得到扰动方程

$$\begin{pmatrix}\ddot x\\\ddot y\end{pmatrix} +\mathsf M\begin{pmatrix}\dot x\\\dot y\end{pmatrix} +\mathsf N\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\boldsymbol0.\tag{B}$$

用角速度 $\Omega_0$ 和 $\alpha$ 表示矩阵 $\mathsf M,\mathsf N$。

(5) 对上一问所得扰动方程 (B)，假设振动解为 $(x,y)=(A,B)e^{i\omega t}$。当 $\omega\ne0$ 时，推导振动频率 $\omega$ 与角速度 $\Omega_0$ 的关系。

(6) 设在扰动方程 (B) 右侧增加力 $(f_x,f_y)=-k(x,y)$。这对应于将带有质点的弹簧（弹簧常数 $k$）安装在半径 $r=r_0$ 处并使其匀速旋转的情况。假设振动解为 $(x,y)=(A,B)e^{i\omega t}$ 并求出 $\omega$ 后可发现，即使 $k$ 为正，$\omega$ 也可能成为纯虚数，使解随时间指数增长，即出现不稳定。用 $\Omega_0$ 将解指数增长的条件表示为对弹簧常数的条件。

Kai

(1)

$$\boxed{L=\frac12(\dot r^2+r^2\dot\phi^2)+\frac C{r^\alpha}},$$

$$\boxed{\ddot r-r\dot\phi^2+\frac{\alpha C}{r^{\alpha+1}}=0, \qquad\frac d{dt}(r^2\dot\phi)=0}.$$

(2)

角運動量 $\ell=r^2\dot\phi$ は保存されるから

$$\boxed{V_{\rm eff}(r)=\frac{\ell^2}{2r^2}-\frac C{r^\alpha}}.$$

無限遠でゼロにできる範囲は $\alpha>0$（円運動の存在条件とも一致）である。

(3)

円運動には $r_0\Omega_0^2=\alpha C/r_0^{\alpha+1}$ が必要なので

$$\boxed{\Omega_0^2=\frac{\alpha C}{r_0^{\alpha+2}}}.$$

円軌道上で $V_{\rm eff}''(r_0)=(2-\alpha)\Omega_0^2$。径方向の摂動 $\delta r$ は

$$\delta\ddot r+(2-\alpha)\Omega_0^2\delta r=0$$

に従うから、存在条件と合わせて $\boxed{0<\alpha<2}$。$\alpha=2$ では $\delta r=A+Bt$ に永年増大があり、安定とはいえない。

(4)

一次まで展開すると

$$\ddot x-2\Omega_0\dot y-(\alpha+2)\Omega_0^2x=0, \qquad\ddot y+2\Omega_0\dot x=0.$$

したがって

$$\boxed{\mathsf M=\begin{pmatrix}0&-2\Omega_0\\2\Omega_0&0\end{pmatrix},\qquad \mathsf N=\begin{pmatrix}-(\alpha+2)\Omega_0^2&0\\0&0\end{pmatrix}}.$$

(5)

振幅の非自明解の条件は

$$\det\begin{pmatrix}-\omega^2-(\alpha+2)\Omega_0^2&-2i\omega\Omega_0\\2i\omega\Omega_0&-\omega^2\end{pmatrix} =\omega^2[\omega^2-(2-\alpha)\Omega_0^2]=0.$$

ゆえに非零の振動数は $\boxed{\omega^2=(2-\alpha)\Omega_0^2}$。

(6)

$X=\omega^2$ とおくと

$$X^2-[2k+(2-\alpha)\Omega_0^2]X+k[k-(\alpha+2)\Omega_0^2]=0.$$

従って

$$X_\pm=k+\frac{2-\alpha}{2}\Omega_0^2 \pm\frac12\sqrt{16k\Omega_0^2+(2-\alpha)^2\Omega_0^4}.$$

$k>0$ では根は実数、和は正なので、負の根が生じるのは積が負のときに限る。

$$\boxed{0<k<(\alpha+2)\Omega_0^2}.$$

この範囲で $X_-<0$、$e^{\sqrt{-X_-}t}$ の増大解がある。境界ではゼロ振動数が現れるが指数増大はない。

Reference

• 京都大学公式問題（2016年度、PDF 9ページ）