京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2015年度 I-3

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• 德鲁德模型的弛豫时间
• 霍尔角

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

電子の有効質量を $m_e$、電荷を $-e$（$e>0$）、緩和時間を $\tau_e$ とし、平均速度 $\boldsymbol v_e$ が

$$m_e\left(\dot{\boldsymbol v}_e+\frac{\boldsymbol v_e}{\tau_e}\right) =-e(\boldsymbol E+\boldsymbol v_e\times\boldsymbol B)$$

に従うとする。$\boldsymbol B=(0,0,B)$、$\boldsymbol E=(E_x,E_y,0)$ とし、$z$ 方向の運動は考えない。

1. 定常状態の $\boldsymbol v_e$ を求めよ。
2. 電子数密度を $n$、$\mu_e=e\tau_e/m_e$、$\boldsymbol j=-en\boldsymbol v_e$ とする。$(j_x,j_y)^T=\sigma(E_x,E_y)^T$ の全成分を求めよ。
3. 図1のように $x$ 方向に長い棒状試料に電流を流し、横方向を絶縁して $j_y=0$ とする。ホール係数 $R_H=E_y/(Bj_x)$ と有効抵抗率 $R_{xx}=E_x/j_x$ を求めよ。

次に電子と正孔が共存するとする。正孔の電荷は $e$、有効質量は $m_h$、数密度は $p$、緩和時間は $\tau_h$、移動度は $\mu_h=e\tau_h/m_h$ であり、

$$m_h\left(\dot{\boldsymbol v}_h+\frac{\boldsymbol v_h}{\tau_h}\right) =e(\boldsymbol E+\boldsymbol v_h\times\boldsymbol B).$$

4. $\boldsymbol j=-en\boldsymbol v_e+ep\boldsymbol v_h$ に対する定常状態の伝導度テンソルを求めよ。
5. 同じ棒状配置で $j_y=0$ とし、$B\to0$ のホール係数を求めよ。
6. $B\to\infty$ のホール係数を求め、その符号の意味を述べよ。

题目描述

电子有效质量为 $m_e$，电荷 $-e$，弛豫时间 $\tau_e$，满足

$$m_e(\dot{\boldsymbol v}_e+\boldsymbol v_e/\tau_e) =-e(\boldsymbol E+\boldsymbol v_e\times\boldsymbol B).$$

取 $\boldsymbol B=(0,0,B)$、$\boldsymbol E=(E_x,E_y,0)$，忽略 $z$ 向运动。

1. 求稳态电子速度。
2. 设电子数密度 $n$、迁移率 $\mu_e=e\tau_e/m_e$、$\boldsymbol j=-en\boldsymbol v_e$，求二维电导率张量全部分量。
3. 如上图1，沿 $x$ 的棒状试样横向绝缘，故 $j_y=0$。求 $R_H=E_y/(Bj_x)$ 和 $R_{xx}=E_x/j_x$。
4. 若同时有电荷 $+e$、有效质量 $m_h$、数密度 $p$、弛豫时间 $\tau_h$ 的空穴，其方程为 $m_h(\dot{\boldsymbol v}_h+\boldsymbol v_h/\tau_h)=e(\boldsymbol E+\boldsymbol v_h\times\boldsymbol B)$，$\mu_h=e\tau_h/m_h$，求总电流 $\boldsymbol j=-en\boldsymbol v_e+ep\boldsymbol v_h$ 的电导率张量。
5. 对同样 $j_y=0$ 的配置求低磁场霍尔系数。
6. 求高磁场霍尔系数并解释其符号。

Kai

(1)

定常運動方程式を成分表示して解くと

$$\boxed{\begin{pmatrix}v_{ex}\\v_{ey}\end{pmatrix} =-\frac{\mu_e}{1+\mu_e^2B^2} \begin{pmatrix}E_x-\mu_eBE_y\\E_y+\mu_eBE_x\end{pmatrix}}.$$

(2)

$$\boxed{\sigma=\frac{en\mu_e}{1+\mu_e^2B^2} \begin{pmatrix}1&-\mu_eB\\\mu_eB&1\end{pmatrix}}.$$

(3)

$j_y=0$ より $E_y=-\mu_eBE_x$、したがって $j_x=en\mu_eE_x$。

$$\boxed{R_H=-\frac1{en},\qquad R_{xx}=\frac1{en\mu_e}}.$$

(4)

正孔については

$$\begin{pmatrix}v_{hx}\\v_{hy}\end{pmatrix} =\frac{\mu_h}{1+\mu_h^2B^2} \begin{pmatrix}E_x+\mu_hBE_y\\E_y-\mu_hBE_x\end{pmatrix}.$$

両キャリアの電流を加えると

$$\boxed{\begin{aligned} \sigma_{xx}=\sigma_{yy}&=e\left(\frac{n\mu_e}{1+\mu_e^2B^2}+\frac{p\mu_h}{1+\mu_h^2B^2}\right),\\ \sigma_{xy}=-\sigma_{yx}&=eB\left(\frac{p\mu_h^2}{1+\mu_h^2B^2}-\frac{n\mu_e^2}{1+\mu_e^2B^2}\right). \end{aligned}}$$

(5)

$\sigma_{xx}=a,\sigma_{xy}=b$ とおくと $\sigma=\left(\begin{smallmatrix}a&b\\-b&a\end{smallmatrix}\right)$ であり、$j_y=0$ より

$$R_H=\frac{b}{B(a^2+b^2)} =\frac{p\mu_h^2-n\mu_e^2+(p-n)\mu_e^2\mu_h^2B^2} {e[(n\mu_e+p\mu_h)^2+(p-n)^2\mu_e^2\mu_h^2B^2]}.$$

したがって

$$\boxed{R_H(0)=\frac{p\mu_h^2-n\mu_e^2}{e(n\mu_e+p\mu_h)^2}}.$$

(6)

$p\ne n$ の場合、

$$\boxed{\lim_{B\to\infty}R_H=\frac1{e(p-n)}}.$$

正なら正孔、負なら電子の数密度が大きい。一方、完全補償 $p=n>0$ では上の式を適用できず、

$$R_H=\frac{\mu_h-\mu_e}{en(\mu_h+\mu_e)}$$

となる。この場合の符号は密度差でなく移動度の差で決まる。

Reference

• 京都大学公式問題（2015年度、PDF 6–7ページ）