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京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2015年度 I-1

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Author​

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description​

x,x′∈Rx,x'\in\mathbb R および t>0t>0 に対して

G(x,x′,t)=14πtexp⁡ ⁣[−(x−x′)24t]G(x,x',t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}\exp\!\left[-\frac{(x-x')^2}{4t}\right]

を定義する。

  1. ∫−∞∞e−x2 dx\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx を計算せよ。
  2. ∫−∞∞G(x,x′,t) dx′\int_{-\infty}^{\infty}G(x,x',t)\,dx' を計算せよ。
  3. x≠x′x\ne x' のとき lim⁡t→+0G(x,x′,t)\lim_{t\to+0}G(x,x',t) を求めよ。
  4. H=∂tG−∂x2GH=\partial_tG-\partial_x^2G を求めよ。
  5. 連続で有界な任意の関数 g0g_0 に対し v(x,t)=∫−∞∞g0(x′)G(x,x′,t) dx′v(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty}g_0(x')G(x,x',t)\,dx' とおく。w=∂tv−∂x2vw=\partial_tv-\partial_x^2v を求めよ。
  6. lim⁡t→+0v(x,t)\lim_{t\to+0}v(x,t) を求めよ。
  7. vv が解となる偏微分方程式と初期条件を書け。

题目描述​

定义实数 x,x′x,x' 和 t>0t>0 的函数

G(x,x′,t)=(4πt)−1/2e−(x−x′)2/(4t).G(x,x',t)=(4\pi t)^{-1/2}e^{-(x-x')^2/(4t)}.
  1. 计算 ∫Re−x2dx\int_{\mathbb R}e^{-x^2}dx。
  2. 计算 ∫RG(x,x′,t)dx′\int_{\mathbb R}G(x,x',t)dx'。
  3. 求 x≠x′x\ne x' 时 t→0+t\to0^+ 的 GG 的极限。
  4. 求 H=∂tG−∂x2GH=\partial_tG-\partial_x^2G。
  5. 对任意连续有界函数 g0g_0，定义 v(x,t)=∫Rg0(x′)G(x,x′,t)dx′v(x,t)=\int_{\mathbb R}g_0(x')G(x,x',t)dx'，求 w=∂tv−∂x2vw=\partial_tv-\partial_x^2v。
  6. 求 vv 在 t→0+t\to0^+ 时的极限。
  7. 写出 vv 所满足的偏微分方程及初始条件。

Kai​

(1)​

積分を I>0I>0 とおく。極座標変換により

I2=∫R2e−x2−y2 dx dy=2π∫0∞re−r2 dr=π,I=π.I^2=\int_{\mathbb R^2}e^{-x^2-y^2}\,dx\,dy =2\pi\int_0^\infty re^{-r^2}\,dr=\pi, \qquad \boxed{I=\sqrt\pi}.

(2)​

u=(x′−x)/(2t)u=(x'-x)/(2\sqrt t) と変換すると

∫RG dx′=1π∫Re−u2 du=1.\int_{\mathbb R}G\,dx'=\frac1{\sqrt\pi}\int_{\mathbb R}e^{-u^2}\,du=\boxed{1}.

(3)​

c=(x−x′)2/4>0c=(x-x')^2/4>0 に対して t−1/2e−c/t→0t^{-1/2}e^{-c/t}\to0 なので、極限は 0\boxed{0}。

(4)​

∂tG=[−12t+(x−x′)24t2]G=∂x2G.\partial_tG=\left[-\frac1{2t}+\frac{(x-x')^2}{4t^2}\right]G =\partial_x^2G.

したがって H=0\boxed{H=0}。

(5)​

t>0t>0 の近傍では GG の導関数は多項式とガウス関数の積で可積分であり、g0g_0 は有界なので積分と微分を交換できる。

w(x,t)=∫Rg0(x′)H(x,x′,t) dx′=0.w(x,t)=\int_{\mathbb R}g_0(x')H(x,x',t)\,dx'=\boxed{0}.

(6)​

(2) と同じ変数変換により

v(x,t)=1π∫Rg0(x+2t u)e−u2 du.v(x,t)=\frac1{\sqrt\pi}\int_{\mathbb R}g_0(x+2\sqrt t\,u)e^{-u^2}\,du.

連続性から被積分関数は点ごとに g0(x)e−u2g_0(x)e^{-u^2} に収束し、その絶対値は可積分関数 ∥g0∥∞e−u2\|g_0\|_\infty e^{-u^2} 以下である。支配収束定理より

lim⁡t→+0v(x,t)=g0(x).\boxed{\lim_{t\to+0}v(x,t)=g_0(x)}.

(7)​

∂tv=∂x2v(x∈R,t>0),v(x,0)=g0(x).\boxed{\partial_tv=\partial_x^2v\quad(x\in\mathbb R,t>0),\qquad v(x,0)=g_0(x)}.

Reference​

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