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京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2015年度 II-2

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Author​

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description​

自然単位系 ℏ=c=1\hbar=c=1 を用いる。i,j=1,2i,j=1,2 に対し [a^i,a^j†]=δij[\hat a_i,\hat a_j^\dagger]=\delta_{ij}、[a^i,a^j]=0[\hat a_i,\hat a_j]=0、a^i∣0⟩=0\hat a_i|0\rangle=0 とする。実数 ωA,ωB,ωC\omega_A,\omega_B,\omega_C を用いたハミルトニアン

H^=ωAa^1†a^1+ωB(a^1†a^2+a^2†a^1)+ωCa^2†a^2\hat H=\omega_A\hat a_1^\dagger\hat a_1 +\omega_B(\hat a_1^\dagger\hat a_2+\hat a_2^\dagger\hat a_1) +\omega_C\hat a_2^\dagger\hat a_2

を考える。

  1. b^1=a^1cos⁡θ+a^2sin⁡θ\hat b_1=\hat a_1\cos\theta+\hat a_2\sin\theta、b^2=−a^1sin⁡θ+a^2cos⁡θ\hat b_2=-\hat a_1\sin\theta+\hat a_2\cos\theta として H^=ω1b^1†b^1+ω2b^2†b^2\hat H=\omega_1\hat b_1^\dagger\hat b_1+\omega_2\hat b_2^\dagger\hat b_2、ω1≤ω2\omega_1\le\omega_2 と書く。ω1,ω2,tan⁡2θ\omega_1,\omega_2,\tan2\theta を求めよ。
  2. 初期状態 ∣α⟩=a^1†∣0⟩|\alpha\rangle=\hat a_1^\dagger|0\rangle が時刻 tt に ∣β⟩=a^2†∣0⟩|\beta\rangle=\hat a_2^\dagger|0\rangle として観測される確率 P(t)=∣⟨β∣ψ(t)⟩∣2P(t)=|\langle\beta|\psi(t)\rangle|^2 を求めよ。
  3. t>ΔT>0t>\Delta T>0 とし、観測確率を P‾(t)=ΔT−1∫t−ΔT/2t+ΔT/2P(t′)dt′\overline P(t)=\Delta T^{-1}\int_{t-\Delta T/2}^{t+\Delta T/2}P(t')dt' とする。その式を求めよ。
  4. ω2>ω1\omega_2>\omega_1 のとき P‾(t)\overline P(t) の ΔT\Delta T 依存性を図示し、ΔT=0\Delta T=0 と ΔT≫1/(ω2−ω1)\Delta T\gg1/(\omega_2-\omega_1) の値を明記せよ。

题目描述​

采用 ℏ=c=1\hbar=c=1。两组玻色产生湮灭算符满足 [ai,aj†]=δij[a_i,a_j^\dagger]=\delta_{ij}、[ai,aj]=0[a_i,a_j]=0，真空满足 ai∣0⟩=0a_i|0\rangle=0。哈密顿量为

H=ωAa1†a1+ωB(a1†a2+a2†a1)+ωCa2†a2,H=\omega_Aa_1^\dagger a_1+\omega_B(a_1^\dagger a_2+a_2^\dagger a_1)+\omega_Ca_2^\dagger a_2,

三个系数均为实数。

  1. 用 b1=a1cos⁡θ+a2sin⁡θb_1=a_1\cos\theta+a_2\sin\theta、b2=−a1sin⁡θ+a2cos⁡θb_2=-a_1\sin\theta+a_2\cos\theta 将 HH 写成 ω1b1†b1+ω2b2†b2\omega_1b_1^\dagger b_1+\omega_2b_2^\dagger b_2，ω1≤ω2\omega_1\le\omega_2；求两频率及 tan⁡2θ\tan2\theta。
  2. 初态 ∣α⟩=a1†∣0⟩|\alpha\rangle=a_1^\dagger|0\rangle 在 tt 时刻被观测为 ∣β⟩=a2†∣0⟩|\beta\rangle=a_2^\dagger|0\rangle 的概率是多少？
  3. 对时间窗 [t−ΔT/2,t+ΔT/2][t-\Delta T/2,t+\Delta T/2] 平均，t>ΔT>0t>\Delta T>0，求平均概率。
  4. 当 ω2>ω1\omega_2>\omega_1 时画出平均概率随 ΔT\Delta T 的变化，标注零时间窗及远大于振荡时间尺度时的极限。

Kai​

(1)​

D=(ωA−ωC)2+4ωB2D=\sqrt{(\omega_A-\omega_C)^2+4\omega_B^2} とおく。特性方程式より

ω1,2=ωA+ωC∓D2.\boxed{\omega_{1,2}=\frac{\omega_A+\omega_C\mp D}{2}}.

変換後の非対角項は ωBcos⁡2θ+(ωC−ωA)sin⁡2θ/2\omega_B\cos2\theta+(\omega_C-\omega_A)\sin2\theta/2 なので

tan⁡2θ=2ωBωA−ωC.\boxed{\tan2\theta=\frac{2\omega_B}{\omega_A-\omega_C}}.

固有値の順序を指定するには、D>0D>0 に対して

cos⁡2θ=ωC−ωAD,sin⁡2θ=−2ωBD\cos2\theta=\frac{\omega_C-\omega_A}{D},\qquad \sin2\theta=-\frac{2\omega_B}{D}

を選べばよい。D=0D=0 では角度は任意である。

(2)​

逆変換 a1†=b1†cos⁡θ−b2†sin⁡θa_1^\dagger=b_1^\dagger\cos\theta-b_2^\dagger\sin\theta により

∣ψ(t)⟩=(e−iω1tcos⁡θ b1†−e−iω2tsin⁡θ b2†)∣0⟩.|\psi(t)\rangle=(e^{-i\omega_1t}\cos\theta\,b_1^\dagger -e^{-i\omega_2t}\sin\theta\,b_2^\dagger)|0\rangle.

したがって

⟨β∣ψ(t)⟩=sin⁡θcos⁡θ(e−iω1t−e−iω2t),P(t)=sin⁡22θ sin⁡2Dt2.\langle\beta|\psi(t)\rangle=\sin\theta\cos\theta(e^{-i\omega_1t}-e^{-i\omega_2t}), \qquad \boxed{P(t)=\sin^22\theta\,\sin^2\frac{Dt}{2}}.

(3)​

A=12sin⁡22θA=\frac12\sin^22\theta と書くと P(t)=A(1−cos⁡Dt)P(t)=A(1-\cos Dt)。積分して

P‾(t)=A[1−cos⁡(Dt)sin⁡(DΔT/2)DΔT/2].\boxed{\overline P(t)=A\left[1-\cos(Dt)\frac{\sin(D\Delta T/2)}{D\Delta T/2}\right]}.

D=0D=0 では遷移確率はゼロ。

(4)​

s=DΔT/2s=D\Delta T/2 に対する曲線は A[1−cos⁡(Dt)sinc⁡s]A[1-\cos(Dt)\operatorname{sinc}s] である。

P‾∣ΔT=0=P(t),P‾⟶A=12sin⁡22θ.\boxed{\overline P|_{\Delta T=0}=P(t),\qquad \overline P\longrightarrow A=\frac12\sin^22\theta}.

s=nπs=n\pi（n=1,2,…n=1,2,\ldots）で高さ AA を通り、AA の上下で振幅が 1/ΔT1/\Delta T に比例して減衰する。cos⁡Dt>0\cos Dt>0 なら AA より下から出発し、負なら上下を反転した形、ゼロなら水平線となる。次の図に代表的な三つの場合を示す。

時間平均遷移確率

t>ΔTt>\Delta T の制限内で大きい時間窓を考えるには Dt≫1Dt\gg1 が必要である。

Reference​

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