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京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2015年度 III-3

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Author​

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description​

磁気モーメント μi\boldsymbol\mu_i を持つ NN 粒子を考える。各モーメントの大きさは μ\mu で、平面内の互いに 120∘120^\circ をなす 3 方向（状態 1、2、3）のいずれかをとる。各状態の方向は図1のように定める。

図1：磁気モーメントの3つの状態（原題）

距離によらない相互作用は

H=−JN∑(i,j)μi⋅μj=−J2N∑i∑j≠iμi⋅μj,J>0.H=-\frac JN\sum_{(i,j)}\boldsymbol\mu_i\cdot\boldsymbol\mu_j =-\frac J{2N}\sum_i\sum_{j\ne i}\boldsymbol\mu_i\cdot\boldsymbol\mu_j, \qquad J>0.

各状態の粒子数を N1,N2,N3N_1,N_2,N_3、N1+N2+N3=NN_1+N_2+N_3=N とする。

  1. 全磁化の xx 成分 MM を粒子数で表し、
H=Jμ24N[2N−(N1−N2)2−(N2−N3)2−(N3−N1)2]H=\frac{J\mu^2}{4N}\left[2N-(N_1-N_2)^2-(N_2-N_3)^2-(N_3-N_1)^2\right]

を示せ。 2. 状態数を ν\nu とし、S=kBlog⁡νS=k_B\log\nu とする。log⁡N!≃Nlog⁡N−N\log N!\simeq N\log N-N を用い、N1,N2,N3≫1N_1,N_2,N_3\gg1 のときのエントロピーを求めよ。

F(T;N1,N2,N3)=H−TSF(T;N_1,N_2,N_3)=H-TS とおけば、分配関数は粒子数の分割について ZN(T)=∑(N1,N2,N3)e−F/(kBT)Z_N(T)=\sum_{(N_1,N_2,N_3)}e^{-F/(k_BT)} と表される。N→∞N\to\infty では系の自由エネルギーは F(T;N1,N2,N3)F(T;N_1,N_2,N_3) の最小値に一致する。

  1. N2=N3N_2=N_3 を仮定し、FF を T,MT,M の関数で表せ。
  2. F(T;M)F(T;M) の極値を与える MM の式を求めよ。
  3. 温度を下げると TcT_c で M=0M=0 から Ms≠0M_s\ne0 に不連続に変化する一次相転移が起こる。Tc,MsT_c,M_s の満たす条件を FF で表せ。
  4. Ms=Nμ/2M_s=N\mu/2 が条件を満たすことを示し、TcT_c を求めよ。

题目描述​

NN 个粒子各有大小为 μ\mu 的磁矩，只能指向平面内相隔 120∘120^\circ 的三个方向；三种状态的方向如上图1所示。任意不同粒子对之间的相互作用为 −Jμi⋅μj/N-J\boldsymbol\mu_i\cdot\boldsymbol\mu_j/N，J>0J>0。三种状态粒子数为 N1,N2,N3N_1,N_2,N_3，总数为 NN。

  1. 表示总磁化的 xx 分量 MM，并证明
H=Jμ24N[2N−(N1−N2)2−(N2−N3)2−(N3−N1)2].H=\frac{J\mu^2}{4N}[2N-(N_1-N_2)^2-(N_2-N_3)^2-(N_3-N_1)^2].
  1. 用状态数 ν\nu、S=kBlog⁡νS=k_B\log\nu 及斯特林公式，求各 Ni≫1N_i\gg1 下的熵。

定义 F(T;N1,N2,N3)=H−TSF(T;N_1,N_2,N_3)=H-TS，则 ZN=∑e−F/(kBT)Z_N=\sum e^{-F/(k_BT)}。热力学极限中系统自由能等于此 FF 的最小值。

  1. 假设 N2=N3N_2=N_3，用 T,MT,M 表示 FF。
  2. 求自由能驻点方程。
  3. 若降温至 TcT_c 时磁化从零跃变为 Ms≠0M_s\ne0，用 FF 写出共存条件。
  4. 证明 Ms=Nμ/2M_s=N\mu/2 满足条件并求转变温度。

Kai​

(1)​

M=μ(N1−N2+N32)=μ2(3N1−N).\boxed{M=\mu\left(N_1-\frac{N_2+N_3}{2}\right)=\frac\mu2(3N_1-N)}.

同方向の内積は μ2\mu^2、異方向は −μ2/2-\mu^2/2 なので

H=−Jμ22N[∑i=13Ni(Ni−1)−∑i<jNiNj].H=-\frac{J\mu^2}{2N}\left[\sum_{i=1}^3N_i(N_i-1)-\sum_{i<j}N_iN_j\right].

∑i<j(Ni−Nj)2=2∑iNi2−2∑i<jNiNj\sum_{i<j}(N_i-N_j)^2=2\sum_iN_i^2-2\sum_{i<j}N_iN_j を用いれば指定された形を得る。

(2)​

ν=N!N1!N2!N3!,S≃kB(Nlog⁡N−∑iNilog⁡Ni).\nu=\frac{N!}{N_1!N_2!N_3!}, \qquad\boxed{S\simeq k_B\left(N\log N-\sum_iN_i\log N_i\right)}.

(3)​

q=M/(Nμ)q=M/(N\mu)、−1/2≤q≤1-1/2\le q\le1 とおくと

N1=N3(1+2q),N2=N3=N3(1−q).N_1=\frac N3(1+2q),\qquad N_2=N_3=\frac N3(1-q).

よって

F(T;M)=Jμ22−NJμ2q22+NkBT[1+2q3log⁡1+2q3+2(1−q)3log⁡1−q3].\boxed{F(T;M)=\frac{J\mu^2}{2}-\frac{NJ\mu^2q^2}{2} +Nk_BT\left[\frac{1+2q}{3}\log\frac{1+2q}{3} +\frac{2(1-q)}3\log\frac{1-q}{3}\right]}.

端点では xlog⁡x→0x\log x\to0 を用いる。

(4)​

内部の極値では ∂F/∂M=0\partial F/\partial M=0、すなわち

log⁡1+2q1−q=3Jμ22kBTq.\boxed{\log\frac{1+2q}{1-q}=\frac{3J\mu^2}{2k_BT}q}.

(5)​

二つの安定な極小の自由エネルギーが等しいので

F(Tc;Ms)=F(Tc;0),∂F∂M∣Tc,Ms=0.\boxed{F(T_c;M_s)=F(T_c;0),\qquad \left.\frac{\partial F}{\partial M}\right|_{T_c,M_s}=0}.

M=0M=0 でも自動的に一階微分がゼロであり、両状態が極小であることを確認する。

(6)​

qs=1/2q_s=1/2 とすると

F(T;Nμ/2)−F(T;0)=−NJμ28+NkBT3log⁡2.F(T;N\mu/2)-F(T;0) =-\frac{NJ\mu^2}{8}+\frac{Nk_BT}{3}\log2.

両者が等しい温度は

Tc=3Jμ28kBlog⁡2.\boxed{T_c=\frac{3J\mu^2}{8k_B\log2}}.

このとき (4) の左辺は log⁡4=2log⁡2\log4=2\log2、右辺も 3Jμ2/(4kBTc)=2log⁡23J\mu^2/(4k_BT_c)=2\log2 で一致する。さらに q=0,1/2q=0,1/2 の両点で

1N∂2F∂q2=−Jμ2+2kBTc=Jμ2(34log⁡2−1)>0,\frac1N\frac{\partial^2F}{\partial q^2} =-J\mu^2+2k_BT_c =J\mu^2\left(\frac3{4\log2}-1\right)>0,

したがって両点は安定な極小である。

Reference​

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