京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2015年度 III-1

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• 电介质与边界条件
• 电磁波
• 费马原理与斯涅尔定律

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

マクスウェル方程式

$$\nabla\cdot\boldsymbol D=\rho,\quad\nabla\cdot\boldsymbol B=0,\quad \nabla\times\boldsymbol H-\partial_t\boldsymbol D=\boldsymbol j,\quad \nabla\times\boldsymbol E+\partial_t\boldsymbol B=0$$

と $\boldsymbol D=\epsilon\boldsymbol E$、$\boldsymbol B=\mu\boldsymbol H$ を用いる。図1のように、平面 $z=0$ で誘電体 1（$z<0$、$\epsilon_1,\mu_1$）と誘電体 2（$z>0$、$\epsilon_2,\mu_2$）が接触する。$\epsilon_1<\epsilon_2$、両者は帯電しておらず、自由電流もないとする。

1. 両側の $\boldsymbol E_1,\boldsymbol B_1$ と $\boldsymbol E_2,\boldsymbol B_2$ の境界条件を導け。
2. $\rho=0,\boldsymbol j=0$ の一様な領域で $\boldsymbol E$ の波動方程式を導け。

図2のように、誘電体 1 から $xz$ 面内を進む入射波 $A$ の電場を $\boldsymbol E=\boldsymbol I e^{i(\boldsymbol k\cdot\boldsymbol r-\omega t)}$ とする。入射角 $\phi\in(0,\pi/2)$ は境界法線から測る。反射波 $A'$ と屈折波 $A''$ をそれぞれ $\boldsymbol E'=\boldsymbol R e^{i(\boldsymbol k'\cdot\boldsymbol r-\omega't)}$、$\boldsymbol E''=\boldsymbol F e^{i(\boldsymbol k''\cdot\boldsymbol r-\omega''t)}$ とし、反射角を $\phi'$、屈折角を $\chi$ とする。

3. 入射波の位相速度の大きさと、その方向が $\boldsymbol I$ となす角を求めよ。
4. 入射波の $\boldsymbol B(\boldsymbol r,t)$ を求めよ。
5. 境界条件が境界上の任意の点・時刻で成立することから、$\phi',\chi$ を求めよ。

题目描述

使用麦克斯韦方程及 $\boldsymbol D=\epsilon\boldsymbol E$、$\boldsymbol B=\mu\boldsymbol H$。如上图1，两均匀介质在 $z=0$ 接触：介质 1 位于 $z<0$，参数 $(\epsilon_1,\mu_1)$；介质 2 位于 $z>0$，参数 $(\epsilon_2,\mu_2)$。$\epsilon_1<\epsilon_2$，无自由电荷和电流。

1. 推导两侧电场、磁感应强度的边界条件。
2. 在无电荷和电流的均匀区域推导电场波动方程。

如上图2，平面波从介质 1 在 $xz$ 平面内入射，电场为 $\boldsymbol I e^{i(\boldsymbol k\cdot\boldsymbol r-\omega t)}$。入射角 $\phi\in(0,\pi/2)$ 从法线量起，反射与折射场分别为 $\boldsymbol R e^{i(\boldsymbol k'\cdot\boldsymbol r-\omega't)}$、$\boldsymbol F e^{i(\boldsymbol k''\cdot\boldsymbol r-\omega''t)}$，相应角为 $\phi',\chi$。

3. 求入射波相速度大小及其方向与电场振幅的夹角。
4. 求入射波磁场。
5. 用任意时空点均满足边界条件推导反射角和折射角。

Kai

(1)

境界をまたぐ高さが微小な長方形に回転の方程式を積分すると、接線成分について

$$\boxed{E_{1x}=E_{2x},\quad E_{1y}=E_{2y},\quad \frac{B_{1x}}{\mu_1}=\frac{B_{2x}}{\mu_2},\quad \frac{B_{1y}}{\mu_1}=\frac{B_{2y}}{\mu_2}}.$$

また薄い円柱に発散の方程式を積分すると

$$\boxed{\epsilon_1E_{1z}=\epsilon_2E_{2z},\qquad B_{1z}=B_{2z}}.$$

自由表面電荷・表面電流がないことを使った。

(2)

$\nabla\cdot\boldsymbol E=0$ と $\nabla\times\boldsymbol B=\mu\epsilon\partial_t\boldsymbol E$ より

$$-\nabla^2\boldsymbol E=\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol E) =-\mu\epsilon\partial_t^2\boldsymbol E.$$

したがって

$$\boxed{\nabla^2\boldsymbol E-\mu\epsilon\partial_t^2\boldsymbol E=0}.$$

(3)

平面波を代入すると $k^2=\epsilon_1\mu_1\omega^2$。また $\nabla\cdot\boldsymbol E=0$ より $\boldsymbol k\cdot\boldsymbol I=0$。

$$\boxed{|\boldsymbol v|=\frac1{\sqrt{\epsilon_1\mu_1}},\qquad \angle(\boldsymbol v,\boldsymbol I)=\frac\pi2}.$$

(4)

ファラデーの法則から $i\boldsymbol k\times\boldsymbol E=i\omega\boldsymbol B$ なので

$$\boxed{\boldsymbol B(\boldsymbol r,t)=\frac{\boldsymbol k\times\boldsymbol I}{\omega} e^{i(\boldsymbol k\cdot\boldsymbol r-\omega t)}}.$$

(5)

境界上で位相が一致するには

$$\omega=\omega'=\omega'',\qquad \boldsymbol k_\parallel=\boldsymbol k'_\parallel=\boldsymbol k''_\parallel.$$

同一媒質内では $|\boldsymbol k|=|\boldsymbol k'|$ なので

$$\boxed{\phi'=\phi,\qquad \sin\chi=\sqrt{\frac{\epsilon_1\mu_1}{\epsilon_2\mu_2}}\sin\phi}.$$

伝播する屈折波がある場合、$\chi$ は右辺の逆正弦である。右辺が 1 を超えると実数の屈折角はなく、全反射となって媒質 2 側には減衰波が生じる。$\epsilon_1<\epsilon_2$ だけでは、透磁率が異なる場合まで全反射を排除できない。

Reference

• 京都大学公式問題（2015年度、PDF 16–17ページ）