京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2014年9月実施 I-3

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• 德鲁德模型的弛豫时间
• 霍尔角

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

物質中の電子の古典的な運動を考えよう。電子の有効質量を $m_e$、電荷を $-e$（$e>0$）とする。静電場（電場強度 $\boldsymbol E$）と静磁場（磁束密度 $\boldsymbol B$）のもとで電子の（平均）速度を $\boldsymbol v_e$ としたとき、電子の運動方程式は、

$$m_e\left(\frac{d\boldsymbol v_e}{dt}+\frac{\boldsymbol v_e}{\tau_e}\right)=-e(\boldsymbol E+\boldsymbol v_e\times\boldsymbol B)$$

で与えられる。ここで $\tau_e$ は衝突（摩擦）による緩和時間である。

(1) 静磁場 $\boldsymbol B=(0,0,B)$、静電場 $\boldsymbol E=(E_x,E_y,0)$ がはたらくとして、定常状態（$d\boldsymbol v_e/dt=\boldsymbol0$）にある電子の速度 $\boldsymbol v_e=(v_{ex},v_{ey},0)$ を求めよ。（ここでは簡単のため電子の $z$ 方向の運動は考えないとしている。）

(2) 定常状態の電子は問 (1) で求めた速度にあるとし、電流密度 $\boldsymbol j$ は電子の数密度 $n$ を用いて $\boldsymbol j=-en\boldsymbol v_e$ と表される。電流密度 $\boldsymbol j$ の $x,y$ 成分は、電気伝導度テンソル $\sigma$ を用いて以下のようにあらわされる。

$$\begin{pmatrix}j_x\\j_y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\sigma_{xx}&\sigma_{xy}\\\sigma_{yx}&\sigma_{yy}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}E_x\\E_y\end{pmatrix}.$$

電気伝導度テンソル $\sigma$ の全成分を、$e,n,B$ 及び、電子の易動度 $\mu_e=e\tau_e/m_e$ を用いて表せ。

図1のように $x$ 方向に長い棒状の試料を考える。試料の $x$ 軸両端につけた電極により電場を与え、電流が $x$ 方向に流れているものとする。静磁場 $\boldsymbol B=(0,0,B)$ を印加した直後、$-x$ 方向の電子の流れはローレンツ力のため $-y$ 方向に曲げられるが、外部に流れ出ない（絶縁されている）条件の下では $-y$ 軸方向の壁に電子がたまり電場を発生するようになり、問 (1) で考えた定常状態をとるようになる。そこでは発生した電場によりローレンツ力の影響は打ち消され、電子の $-y$ 方向の移動はない。

(3) 定常状態では、$j_y=0$ から $E_x$ と $E_y$ の関係を知ることができる。この関係を用い、

$$R_H=\frac{E_y}{Bj_x}$$

と定義されるホール係数 $R_H$、および、有効抵抗率 $R_{xx}\equiv E_x/j_x$ を求めよ。

次に電子と正孔（電荷 $e$、有効質量 $m_h$）の二種類のキャリアーが存在する物質を考える。正孔の（平均）速度を $\boldsymbol v_h$ としたとき運動方程式は

$$m_h\left(\frac{d\boldsymbol v_h}{dt}+\frac{\boldsymbol v_h}{\tau_h}\right)=e(\boldsymbol E+\boldsymbol v_h\times\boldsymbol B)$$

で与えられる。また、電子と正孔の数密度をそれぞれ $n$ と $p$ とし、電子、正孔の易動度をそれぞれ $\mu_e=e\tau_e/m_e,\ \mu_h=e\tau_h/m_h$ とする。

(4) 静磁場 $\boldsymbol B=(0,0,B)$、静電場 $\boldsymbol E=(E_x,E_y,0)$ がはたらくとして、定常状態にある電子、正孔の速度を $\boldsymbol v_e$ と $\boldsymbol v_h$ とする。（簡単のため電子、正孔の $z$ 方向の運動は考えないとしている。）二種類のキャリアーがある場合の電流密度は $\boldsymbol j=-en\boldsymbol v_e+ep\boldsymbol v_h$ と表されるとしたとき、電気伝導度テンソル $\sigma$ の全成分を求めよ。

この物質を図1のように配置し、電場を $x$ 方向に、静磁場 $\boldsymbol B$ を $z$ 方向にかけ充分の時間が経過し、電子、正孔ともに定常状態にあるという状況を考える。ここでも $j_y=0$ より $E_x$ と $E_y$ の関係を知ることができる。

(5) ホール係数の $B\to0$ の低磁場極限における表式を求めよ。

(6) ホール係数の $B\to\infty$ の高磁場極限における表式を求めよ。この表式からホール係数の符号は何を意味しているといえるか。

题目描述

考虑物质中电子的经典运动。电子的有效质量为 $m_e$，电荷为 $-e$（$e>0$）。在静电场（电场强度 $\boldsymbol E$）和静磁场（磁感应强度 $\boldsymbol B$）下，电子的平均速度为 $\boldsymbol v_e$，其运动方程为

$$m_e\left(\frac{d\boldsymbol v_e}{dt}+\frac{\boldsymbol v_e}{\tau_e}\right)=-e(\boldsymbol E+\boldsymbol v_e\times\boldsymbol B),$$

其中 $\tau_e$ 是由碰撞（摩擦）引起的弛豫时间。

(1) 设静磁场 $\boldsymbol B=(0,0,B)$、静电场 $\boldsymbol E=(E_x,E_y,0)$，求稳态（$d\boldsymbol v_e/dt=\boldsymbol0$）电子的速度 $\boldsymbol v_e=(v_{ex},v_{ey},0)$。为简化问题，不考虑电子在 $z$ 方向的运动。

(2) 设稳态电子具有问 (1) 所求的速度，电流密度可用电子数密度 $n$ 表示为 $\boldsymbol j=-en\boldsymbol v_e$。电流密度的 $x,y$ 分量可用电导率张量 $\sigma$ 表示为

$$\begin{pmatrix}j_x\\j_y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\sigma_{xx}&\sigma_{xy}\\\sigma_{yx}&\sigma_{yy}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}E_x\\E_y\end{pmatrix}.$$

用 $e,n,B$ 及电子的迁移率 $\mu_e=e\tau_e/m_e$ 表示电导率张量 $\sigma$ 的全部分量。

考虑图1所示沿 $x$ 方向延伸的棒状试样。通过试样 $x$ 轴两端的电极施加电场，使电流沿 $x$ 方向流动。在刚施加静磁场 $\boldsymbol B=(0,0,B)$ 时，沿 $-x$ 方向流动的电子因洛伦兹力而偏向 $-y$ 方向。但在电子不能流出试样（绝缘）的条件下，电子积聚在 $-y$ 方向的侧壁上，产生电场，并最终达到问 (1) 中的稳态。产生的电场抵消洛伦兹力的影响，电子不再沿 $-y$ 方向移动。

(3) 在稳态下，可以由 $j_y=0$ 得到 $E_x$ 与 $E_y$ 的关系。利用该关系，求霍尔系数

$$R_H=\frac{E_y}{Bj_x}$$

及有效电阻率 $R_{xx}\equiv E_x/j_x$。

接着考虑同时存在电子和空穴（电荷 $e$、有效质量 $m_h$）两种载流子的物质。设空穴的平均速度为 $\boldsymbol v_h$，其运动方程为

$$m_h\left(\frac{d\boldsymbol v_h}{dt}+\frac{\boldsymbol v_h}{\tau_h}\right)=e(\boldsymbol E+\boldsymbol v_h\times\boldsymbol B).$$

电子和空穴的数密度分别为 $n,p$，迁移率分别为 $\mu_e=e\tau_e/m_e,\ \mu_h=e\tau_h/m_h$。

(4) 在静磁场 $\boldsymbol B=(0,0,B)$、静电场 $\boldsymbol E=(E_x,E_y,0)$ 下，设稳态电子和空穴的速度分别为 $\boldsymbol v_e,\boldsymbol v_h$。为简化问题，不考虑电子和空穴在 $z$ 方向的运动。当两种载流子的总电流密度表示为 $\boldsymbol j=-en\boldsymbol v_e+ep\boldsymbol v_h$ 时，求电导率张量 $\sigma$ 的全部分量。

将该物质按图1放置，沿 $x$ 方向施加电场、沿 $z$ 方向施加静磁场 $\boldsymbol B$。经过充分长时间后，电子和空穴均达到稳态。此时同样可以由 $j_y=0$ 得到 $E_x$ 与 $E_y$ 的关系。

(5) 求霍尔系数在 $B\to0$ 的低磁场极限下的表达式。

(6) 求霍尔系数在 $B\to\infty$ 的高磁场极限下的表达式。根据该式，霍尔系数的符号表示什么？

Kai

(1)

定常運動方程式を成分表示して解くと

$$\boxed{\begin{pmatrix}v_{ex}\\v_{ey}\end{pmatrix} =-\frac{\mu_e}{1+\mu_e^2B^2} \begin{pmatrix}E_x-\mu_eBE_y\\E_y+\mu_eBE_x\end{pmatrix}}.$$

(2)

$$\boxed{\sigma=\frac{en\mu_e}{1+\mu_e^2B^2} \begin{pmatrix}1&-\mu_eB\\\mu_eB&1\end{pmatrix}}.$$

(3)

$j_y=0$ より $E_y=-\mu_eBE_x$、したがって $j_x=en\mu_eE_x$。

$$\boxed{R_H=-\frac1{en},\qquad R_{xx}=\frac1{en\mu_e}}.$$

(4)

正孔については

$$\begin{pmatrix}v_{hx}\\v_{hy}\end{pmatrix} =\frac{\mu_h}{1+\mu_h^2B^2} \begin{pmatrix}E_x+\mu_hBE_y\\E_y-\mu_hBE_x\end{pmatrix}.$$

両キャリアの電流を加えると

$$\boxed{\begin{aligned} \sigma_{xx}=\sigma_{yy}&=e\left(\frac{n\mu_e}{1+\mu_e^2B^2}+\frac{p\mu_h}{1+\mu_h^2B^2}\right),\\ \sigma_{xy}=-\sigma_{yx}&=eB\left(\frac{p\mu_h^2}{1+\mu_h^2B^2}-\frac{n\mu_e^2}{1+\mu_e^2B^2}\right). \end{aligned}}$$

(5)

$\sigma_{xx}=a,\sigma_{xy}=b$ とおくと $\sigma=\left(\begin{smallmatrix}a&b\\-b&a\end{smallmatrix}\right)$ であり、$j_y=0$ より

$$R_H=\frac{b}{B(a^2+b^2)} =\frac{p\mu_h^2-n\mu_e^2+(p-n)\mu_e^2\mu_h^2B^2} {e[(n\mu_e+p\mu_h)^2+(p-n)^2\mu_e^2\mu_h^2B^2]}.$$

したがって

$$\boxed{R_H(0)=\frac{p\mu_h^2-n\mu_e^2}{e(n\mu_e+p\mu_h)^2}}.$$

(6)

$p\ne n$ の場合、

$$\boxed{\lim_{B\to\infty}R_H=\frac1{e(p-n)}}.$$

正なら正孔、負なら電子の数密度が大きい。一方、完全補償 $p=n>0$ では上の式を適用できず、

$$R_H=\frac{\mu_h-\mu_e}{en(\mu_h+\mu_e)}$$

となる。この場合の符号は密度差でなく移動度の差で決まる。

Reference

• 京都大学公式問題（2015年度、PDF 6–7ページ）