京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2014年9月実施 I-2

标签：

• 京都大学
• 完整约束下的拉格朗日量与哈密顿量
• 小角度单摆

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

重心を上下に移動させることでブランコを漕ぐ運動を簡単なモデルで考えてみよう。図1のように、$O$ を支点として、質量 $m$ のおもり（質点）がついた棒振り子の平面上の運動を考える（棒の質量は無視できるとする）。おもりの位置 $P$ を極座標 $(r,\theta)$ で表す。おもりは棒の上を移動し、それを $r=l(t)$ と表す。初期条件は、$t=0$ で、おもりは $\theta=\theta_0$ の位置で静止していたものとする。重力加速度を $g\;(>0)$ とする。

(1) 支点 $O$ を基準とし、おもりの持つ全エネルギー $E$ を $m,g,r,\dot r,\theta,\dot\theta$ を使って表せ。

拘束条件は $r=l(t)$ なので、ラグランジュの未定乗数法を使って拘束条件下でのラグランジアン $L$ は、$\lambda$ を未定乗数として、

$$L=\frac12m\{\dot r^2+(r\dot\theta)^2\}+mgr\cos\theta-\lambda\{r-l(t)\}$$

と表せる。$\lambda$ は独立変数とみなせ、$\lambda$ に関するラグランジュ方程式を計算すると、$r-l(t)=0$ となり、たしかに拘束条件が出てくる。

(2) $r$ に関するラグランジュ方程式を導け。

(3) $\theta$ に関するラグランジュ方程式を導け。

問 (2) のラグランジュ方程式から、$\lambda$ はおもりに対する拘束力であることがわかる。

(4) おもりのエネルギー $E$ の時間変化を、

$$\frac{dE}{dt}=A\lambda$$

と表すとき、$A$ を $r,\dot r,\ddot r$ を使って表せ。

次に、$l(t)$ が

$$l(t)=l_0+\epsilon\cos(2\omega_0t+\gamma)$$

と周期的に変化する場合を考える（ただし $l_0,\gamma,\epsilon$ は正の定数、$\omega_0=\sqrt{g/l_0}$ とする）。さらにおもりの移動量は $l_0$ に比べて十分小さく、$0<\epsilon\ll l_0$ とする。また振り子のふれも微小で $\sin\theta\sim\theta\sim\theta_0\cos\omega_0t$ と近似できる間の運動を考え、振り子の周期の変化も無視できるとする。振り子の1周期を $T=2/\omega_0$ として、物理量 $X$ に対する平均を

$$\langle X\rangle=\frac1T\int_0^T X(t)\,dt$$

と定義する。

(5) $\displaystyle\left\langle\frac{dl}{dt}\frac{d^2l}{dt^2}\right\rangle$ を計算して求めよ。

(6) エネルギー $E$ の時間変化の平均 $\displaystyle\left\langle\frac{dE}{dt}\right\rangle$ を、

$$\left\langle\frac{dE}{dt}\right\rangle=mg\epsilon\omega_0\theta_0^2B$$

と表すとき、$B$ を $\gamma$ を使って表せ。計算の途中で、$\displaystyle\left\langle\frac{dl}{dt}\right\rangle=0$ という関係式を使ってもよい。

(7) この運動で、$\displaystyle\left\langle\frac{dE}{dt}\right\rangle$ を最大にするための $\gamma$ の値を求め、そのときの $\theta$ と $l$ の時間変化の関係について説明せよ。

题目描述

用一个简单模型考虑通过上下移动重心来荡秋千的运动。如图1，以 $O$ 为支点，考虑带有质量为 $m$ 的重物（质点）的杆摆在平面内的运动，忽略杆的质量。用极坐标 $(r,\theta)$ 表示重物的位置 $P$。重物沿杆移动，记作 $r=l(t)$。初始条件为：在 $t=0$ 时，重物静止在 $\theta=\theta_0$ 的位置。重力加速度为 $g\;(>0)$。

(1) 以支点 $O$ 为势能基准，用 $m,g,r,\dot r,\theta,\dot\theta$ 表示重物的总能量 $E$。

由于约束条件为 $r=l(t)$，使用拉格朗日未定乘数法，可将约束条件下的拉格朗日量 $L$ 写成

$$L=\frac12m\{\dot r^2+(r\dot\theta)^2\}+mgr\cos\theta-\lambda\{r-l(t)\},$$

其中 $\lambda$ 为未定乘数。将 $\lambda$ 视为独立变量，计算关于 $\lambda$ 的拉格朗日方程，便得到 $r-l(t)=0$，确实给出约束条件。

(2) 推导关于 $r$ 的拉格朗日方程。

(3) 推导关于 $\theta$ 的拉格朗日方程。

由问 (2) 的拉格朗日方程可知，$\lambda$ 表示重物受到的约束力。

(4) 将重物能量 $E$ 随时间的变化表示为

$$\frac{dE}{dt}=A\lambda,$$

用 $r,\dot r,\ddot r$ 表示 $A$。

接着考虑 $l(t)$ 按照

$$l(t)=l_0+\epsilon\cos(2\omega_0t+\gamma)$$

周期性变化的情形。其中 $l_0,\gamma,\epsilon$ 为正常数，$\omega_0=\sqrt{g/l_0}$。重物的移动量相对于 $l_0$ 足够小，满足 $0<\epsilon\ll l_0$。摆角也很小，考虑可采用 $\sin\theta\sim\theta\sim\theta_0\cos\omega_0t$ 近似期间的运动，并忽略摆动周期的变化。记摆的一个周期为 $T=2/\omega_0$，将物理量 $X$ 的平均值定义为

$$\langle X\rangle=\frac1T\int_0^T X(t)\,dt.$$

(5) 计算 $\displaystyle\left\langle\frac{dl}{dt}\frac{d^2l}{dt^2}\right\rangle$。

(6) 将能量 $E$ 随时间变化的平均值 $\displaystyle\left\langle\frac{dE}{dt}\right\rangle$ 写成

$$\left\langle\frac{dE}{dt}\right\rangle=mg\epsilon\omega_0\theta_0^2B,$$

用 $\gamma$ 表示 $B$。计算过程中可以使用关系式 $\displaystyle\left\langle\frac{dl}{dt}\right\rangle=0$。

(7) 求使该运动中 $\displaystyle\left\langle\frac{dE}{dt}\right\rangle$ 最大的 $\gamma$ 值，并说明此时 $\theta$ 与 $l$ 随时间变化的关系。

Kai

原題では $T=2/\omega_0$ と印刷されているが、角振動数 $\omega_0$ の振り子の「1周期」は $T=2\pi/\omega_0$ であり、印刷式と一致しない。以下では1周期を $2\pi/\omega_0$ として計算する。

(1)

$$\boxed{E=\frac m2(\dot r^2+r^2\dot\theta^2)-mgr\cos\theta}.$$

(2)

$$\boxed{m\ddot r=mr\dot\theta^2+mg\cos\theta-\lambda}.$$

拘束力の径方向成分は $-\lambda$ である。

(3)

$$\frac d{dt}(mr^2\dot\theta)=-mgr\sin\theta, \qquad \boxed{r\ddot\theta+2\dot r\dot\theta+g\sin\theta=0}.$$

(4)

$E$ を微分し (2)、(3) を使うと

$$\dot E=m\dot r(\ddot r-r\dot\theta^2-g\cos\theta)=-\lambda\dot r, \qquad \boxed{A=-\dot r}.$$

(5)

$$\boxed{\langle\dot l\ddot l\rangle =\frac{\dot l(T)^2-\dot l(0)^2}{2T}=0}.$$

(6)

$\epsilon\theta_0^2$ の次数まで残すと

$$\begin{aligned} \langle\dot E\rangle &=-m\langle\dot l(l\dot\theta^2+g\cos\theta-\ddot l)\rangle\\ &=-ml_0\langle\dot l\dot\theta^2\rangle +\frac{mg}{2}\langle\dot l\theta^2\rangle. \end{aligned}$$

$u=\omega_0t$ とおけば

$$\begin{gathered} \langle\sin(2u+\gamma)\sin^2u\rangle=-\frac14\sin\gamma,\\ \langle\sin(2u+\gamma)\cos^2u\rangle=\frac14\sin\gamma. \end{gathered}$$

したがって

$$\boxed{\langle\dot E\rangle=-\frac34mg\epsilon\omega_0\theta_0^2\sin\gamma, \qquad B=-\frac34\sin\gamma}.$$

(7)

$$\boxed{\gamma=\frac{3\pi}{2}\pmod{2\pi}}.$$

このとき $l=l_0+\epsilon\sin2\omega_0t$。$l$ は $\theta$ の 2 倍の角振動数で変化する。最下点通過時には $\dot l=-2\epsilon\omega_0$ となって最も速く短くなり、折り返し点では $\dot l=2\epsilon\omega_0$ となって最も速く長くなる。

Reference

• 京都大学公式問題（2015年度、PDF 4–5ページ）