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京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2014年9月実施 I-1

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Author​

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description​

次式で定義される x,x′x,x' と tt の関数 G(x,x′,t)G(x,x',t) を考える。

G(x,x′,t)=14πte−(x−x′)24t.(A)G(x,x',t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}e^{-\frac{(x-x')^2}{4t}}.\tag{A}

(1) 以下の積分を計算して求めよ。

∫−∞∞e−x2 dx.(B)\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx.\tag{B}

(2) t>0t>0 のとき

∫−∞∞G(x,x′,t) dx′(C)\int_{-\infty}^{\infty}G(x,x',t)\,dx'\tag{C}

の積分を計算して求めよ。

(3) x≠x′x\ne x' のとき

lim⁡t→+0G(x,x′,t)(D)\lim_{t\to+0}G(x,x',t)\tag{D}

を求めよ。

(4) t>0t>0 のとき、以下で定義される H(x,x′,t)H(x,x',t) を求めよ。

H(x,x′,t)=∂G(x,x′,t)∂t−∂2G(x,x′,t)∂x2.(E)H(x,x',t)=\frac{\partial G(x,x',t)}{\partial t}-\frac{\partial^2G(x,x',t)}{\partial x^2}.\tag{E}

(5) 連続で有界な任意の関数 g0(x)g_0(x) に対して

v(x,t)=∫−∞∞g0(x′)G(x,x′,t) dx′(F)v(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty}g_0(x')G(x,x',t)\,dx'\tag{F}

で、新しい関数 v(x,t)v(x,t) を定義する。このとき t>0t>0 で

w(x,t)=∂v(x,t)∂t−∂2v(x,t)∂x2(G)w(x,t)=\frac{\partial v(x,t)}{\partial t}-\frac{\partial^2v(x,t)}{\partial x^2}\tag{G}

で定義される w(x,t)w(x,t) を求めよ。

(6) t>0t>0 のとき、以下の極限を求めよ。

lim⁡t→+0v(x,t).(H)\lim_{t\to+0}v(x,t).\tag{H}

(7) v(x,t)v(x,t) は、ある偏微分方程式の、ある初期条件のもとでの解になっているが、その偏微分方程式と初期条件を書け。

题目描述​

考虑由下式定义的关于 x,x′x,x' 和 tt 的函数 G(x,x′,t)G(x,x',t)：

G(x,x′,t)=14πte−(x−x′)24t.(A)G(x,x',t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}e^{-\frac{(x-x')^2}{4t}}.\tag{A}

(1) 计算下列积分：

∫−∞∞e−x2 dx.(B)\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx.\tag{B}

(2) 当 t>0t>0 时，计算下列积分：

∫−∞∞G(x,x′,t) dx′.(C)\int_{-\infty}^{\infty}G(x,x',t)\,dx'.\tag{C}

(3) 当 x≠x′x\ne x' 时，求

lim⁡t→+0G(x,x′,t).(D)\lim_{t\to+0}G(x,x',t).\tag{D}

(4) 当 t>0t>0 时，求由下式定义的 H(x,x′,t)H(x,x',t)：

H(x,x′,t)=∂G(x,x′,t)∂t−∂2G(x,x′,t)∂x2.(E)H(x,x',t)=\frac{\partial G(x,x',t)}{\partial t}-\frac{\partial^2G(x,x',t)}{\partial x^2}.\tag{E}

(5) 对任意连续有界函数 g0(x)g_0(x)，由

v(x,t)=∫−∞∞g0(x′)G(x,x′,t) dx′(F)v(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty}g_0(x')G(x,x',t)\,dx'\tag{F}

定义新函数 v(x,t)v(x,t)。求 t>0t>0 时由下式定义的 w(x,t)w(x,t)：

w(x,t)=∂v(x,t)∂t−∂2v(x,t)∂x2.(G)w(x,t)=\frac{\partial v(x,t)}{\partial t}-\frac{\partial^2v(x,t)}{\partial x^2}.\tag{G}

(6) 当 t>0t>0 时，求以下极限：

lim⁡t→+0v(x,t).(H)\lim_{t\to+0}v(x,t).\tag{H}

(7) v(x,t)v(x,t) 是某个偏微分方程在某个初始条件下的解。写出该偏微分方程及其初始条件。

Kai​

(1)​

積分を I>0I>0 とおく。極座標変換により

I2=∫R2e−x2−y2 dx dy=2π∫0∞re−r2 dr=π,I=π.I^2=\int_{\mathbb R^2}e^{-x^2-y^2}\,dx\,dy =2\pi\int_0^\infty re^{-r^2}\,dr=\pi, \qquad \boxed{I=\sqrt\pi}.

(2)​

u=(x′−x)/(2t)u=(x'-x)/(2\sqrt t) と変換すると

∫RG dx′=1π∫Re−u2 du=1.\int_{\mathbb R}G\,dx'=\frac1{\sqrt\pi}\int_{\mathbb R}e^{-u^2}\,du=\boxed{1}.

(3)​

c=(x−x′)2/4>0c=(x-x')^2/4>0 に対して t−1/2e−c/t→0t^{-1/2}e^{-c/t}\to0 なので、極限は 0\boxed{0}。

(4)​

∂tG=[−12t+(x−x′)24t2]G=∂x2G.\partial_tG=\left[-\frac1{2t}+\frac{(x-x')^2}{4t^2}\right]G =\partial_x^2G.

したがって H=0\boxed{H=0}。

(5)​

t>0t>0 の近傍では GG の導関数は多項式とガウス関数の積で可積分であり、g0g_0 は有界なので積分と微分を交換できる。

w(x,t)=∫Rg0(x′)H(x,x′,t) dx′=0.w(x,t)=\int_{\mathbb R}g_0(x')H(x,x',t)\,dx'=\boxed{0}.

(6)​

(2) と同じ変数変換により

v(x,t)=1π∫Rg0(x+2t u)e−u2 du.v(x,t)=\frac1{\sqrt\pi}\int_{\mathbb R}g_0(x+2\sqrt t\,u)e^{-u^2}\,du.

連続性から被積分関数は点ごとに g0(x)e−u2g_0(x)e^{-u^2} に収束し、その絶対値は可積分関数 ∥g0∥∞e−u2\|g_0\|_\infty e^{-u^2} 以下である。支配収束定理より

lim⁡t→+0v(x,t)=g0(x).\boxed{\lim_{t\to+0}v(x,t)=g_0(x)}.

(7)​

∂tv=∂x2v(x∈R,t>0),v(x,0)=g0(x).\boxed{\partial_tv=\partial_x^2v\quad(x\in\mathbb R,t>0),\qquad v(x,0)=g_0(x)}.

Reference​

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