京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2014年9月実施 II-3

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• 巨正则系综与费米–狄拉克分布
• 泡利顺磁性

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

物質中の電子（質量 $m$）の状態を考えよう。電子スピンは、$z$ 軸を量子化軸とし $s_z=\pm1/2$ の2方向しか取れない状態にある。この電子の集まり（“電子系”とよぶ）をスピンを持つ自由粒子の系と考える。以下では電子の電荷の効果は無視する。この電子系は $N$ 個の電子からなり、体積 $V$ の容器に入っているとする。電子の1粒子状態は運動量空間に一様な密度 $V/(2\pi\hbar)^3$ で分布している。スピン自由度も考慮すると、密度は $2V/(2\pi\hbar)^3$ となる。絶対零度では、電子は3次元運動量空間において原点を中心に描いた半径 $p_F$ の球の内部の状態を満たし、$p_F$ の大きさは内部の状態数が全電子数 $N$ に等しいという条件から求めることができる。$p_F$ をフェルミ運動量、$\epsilon_F=p_F^2/(2m)$ をフェルミエネルギーとよぶ。

(1) フェルミ運動量 $p_F$ とフェルミエネルギー $\epsilon_F$ を $N,V,m,\hbar$ を用いて求めよ。また $D(\epsilon_F)=dN/d\epsilon_F$ で定義される状態密度 $D(\epsilon_F)$ を求めよ。

(2) 絶対零度における電子系の全運動エネルギー $U_0$ は $N,\epsilon_F$ を用いて

$$U_0=\int_0^{\epsilon_F}\epsilon D(\epsilon)\,d\epsilon=a_0N\epsilon_F$$

と表される。$a_0$ の値を求めよ。

(3) フェルミ気体とみなせる電子系の圧力は $P=-(dU_0/dV)$ で定義されるとし、電子系の $PV$ を $U_0$ を用いて表せ。ただし、全粒子数 $N$ は一定とする。

次に、フェルミ縮退をしている $N$ 電子系の絶対零度における磁化 $M$ を以下の手順で求めよう。電子スピン $s_z=\pm1/2$ は磁気モーメント $\mp\mu_B$ を持ち、外部磁場 $B\;(>0)$ の下でのゼーマンエネルギーは $\pm\mu_BB$ である。磁場 $B$ における $s_z=1/2$ の電子、$s_z=-1/2$ の電子の数をそれぞれ、$N^+=N(1-\alpha)/2,\ N^-=N(1+\alpha)/2$ とする（$\alpha>0$）。

(4) 有限磁場での $s_z=1/2$ の電子系が持つ運動エネルギー $E^+$ を、磁場 $B=0$ のときのフェルミエネルギー $\epsilon_F$、および $N,\alpha$ を用いて表せ。同様に、$s_z=-1/2$ の電子系が持つ運動エネルギー $E^-$ を求めよ。

(5) 電子系の全ゼーマンエネルギー $E_Z$ を $N,B,\mu_B,\alpha$ を用いて表せ。

(6) 電子系の全エネルギーを $E_{\mathrm{tot}}=E^++E^-+E_Z$ とする。$\mu_BB\ll\epsilon_F$ のとき $E_{\mathrm{tot}}$ は $\alpha\ll1$ で最小値をとる。$E_{\mathrm{tot}}$ を最小にする $\alpha$ を求め、これに対応する電子系の磁化 $M$ を $\epsilon_F,N,B,\mu_B$ を用いて表せ。

さらに、この $N$ 電子系の電子間に次のような相互作用が働くとする。すなわちスピンが平行な電子間の相互作用エネルギーを $-J\;(J\ge0)$ とし、スピンが反平行な電子間には相互作用は働かないとする。

(7) $N\gg1$ の条件下で、$s_z=1/2$ の電子間に働く全相互作用エネルギーはどのように表されるか。$J,N,\alpha$ を用いて表示せよ。

(8) 電子系の全エネルギー $E_{\mathrm{tot}}$ に、スピン間に働く相互作用も考慮した全エネルギーを $\widetilde E_{\mathrm{tot}}$ とする。$\mu_BB\ll\epsilon_F,\ NJ\ll\epsilon_F$ のとき $\widetilde E_{\mathrm{tot}}$ は $\alpha\ll1$ で最小値をとる。$\widetilde E_{\mathrm{tot}}$ を最小にする $\alpha$ を求め、対応する磁化 $M$ を $\epsilon_F,N,B,\mu_B,J$ を用いて表せ。

题目描述

考虑物质中电子（质量为 $m$）的状态。以 $z$ 轴为量子化轴，电子自旋只能取 $s_z=\pm1/2$ 两个方向。将这一电子集合（称为“电子系”）视为具有自旋的自由粒子系统。以下忽略电子电荷的作用。系统由 $N$ 个电子组成，置于体积为 $V$ 的容器内。电子的单粒子态在动量空间以均匀密度 $V/(2\pi\hbar)^3$ 分布；计入自旋自由度后，密度为 $2V/(2\pi\hbar)^3$。在绝对零度下，电子填满三维动量空间中以原点为球心、半径为 $p_F$ 的球内部的状态。由球内状态数等于总电子数 $N$ 的条件可求出 $p_F$。称 $p_F$ 为费米动量，$\epsilon_F=p_F^2/(2m)$ 为费米能量。

(1) 用 $N,V,m,\hbar$ 求费米动量 $p_F$ 和费米能量 $\epsilon_F$，并求由 $D(\epsilon_F)=dN/d\epsilon_F$ 定义的态密度 $D(\epsilon_F)$。

(2) 绝对零度下，电子系的总动能 $U_0$ 可用 $N,\epsilon_F$ 表示为

$$U_0=\int_0^{\epsilon_F}\epsilon D(\epsilon)\,d\epsilon=a_0N\epsilon_F.$$

求 $a_0$ 的值。

(3) 将电子系视为费米气体，并将压强定义为 $P=-(dU_0/dV)$，用 $U_0$ 表示电子系的 $PV$。总粒子数 $N$ 保持不变。

接着按以下步骤求费米简并的 $N$ 电子系在绝对零度下的磁化 $M$。电子自旋 $s_z=\pm1/2$ 具有磁矩 $\mp\mu_B$，在外磁场 $B\;(>0)$ 中的塞曼能为 $\pm\mu_BB$。磁场 $B$ 下，自旋 $s_z=1/2$ 和 $s_z=-1/2$ 的电子数分别为 $N^+=N(1-\alpha)/2,\ N^-=N(1+\alpha)/2$，其中 $\alpha>0$。

(4) 用零磁场 $B=0$ 时的费米能量 $\epsilon_F$ 及 $N,\alpha$，表示有限磁场中 $s_z=1/2$ 电子系的动能 $E^+$。同样求出 $s_z=-1/2$ 电子系的动能 $E^-$。

(5) 用 $N,B,\mu_B,\alpha$ 表示电子系的总塞曼能 $E_Z$。

(6) 设电子系的总能量为 $E_{\mathrm{tot}}=E^++E^-+E_Z$。当 $\mu_BB\ll\epsilon_F$ 时，$E_{\mathrm{tot}}$ 在 $\alpha\ll1$ 处取得最小值。求使 $E_{\mathrm{tot}}$ 最小的 $\alpha$，并用 $\epsilon_F,N,B,\mu_B$ 表示相应的磁化 $M$。

进一步设该 $N$ 电子系的电子间存在如下相互作用：自旋平行的电子间相互作用能为 $-J\;(J\ge0)$，自旋反平行的电子间没有相互作用。

(7) 在 $N\gg1$ 的条件下，$s_z=1/2$ 电子之间的总相互作用能如何表示？用 $J,N,\alpha$ 写出表达式。

(8) 在电子系总能量 $E_{\mathrm{tot}}$ 的基础上，再计入自旋间相互作用，记所得总能量为 $\widetilde E_{\mathrm{tot}}$。当 $\mu_BB\ll\epsilon_F,\ NJ\ll\epsilon_F$ 时，$\widetilde E_{\mathrm{tot}}$ 在 $\alpha\ll1$ 处取得最小值。求使 $\widetilde E_{\mathrm{tot}}$ 最小的 $\alpha$，并用 $\epsilon_F,N,B,\mu_B,J$ 表示相应的磁化 $M$。

Kai

(1)

$$N=\frac{2V}{(2\pi\hbar)^3}\frac{4\pi p_F^3}{3}, \qquad \boxed{p_F=\hbar\left(\frac{3\pi^2N}{V}\right)^{1/3}},$$

$$\boxed{\epsilon_F=\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{3\pi^2N}{V}\right)^{2/3},\qquad D(\epsilon_F)=\frac{3N}{2\epsilon_F}}.$$

より一般に $D(\epsilon)=\frac{3N}{2\epsilon_F^{3/2}}\sqrt\epsilon$。

(2)

$$U_0=\frac{3N}{2\epsilon_F^{3/2}}\int_0^{\epsilon_F}\epsilon^{3/2}d\epsilon =\frac35N\epsilon_F, \qquad\boxed{a_0=\frac35}.$$

(3)

$N$ 一定では $U_0\propto V^{-2/3}$ より

$$\boxed{PV=\frac23U_0}.$$

(4)

スピン一方向のフェルミ運動量は $p_F(1\mp\alpha)^{1/3}$ であるから

$$\boxed{E^\pm=\frac3{10}N\epsilon_F(1\mp\alpha)^{5/3}}.$$

(5)

$$\boxed{E_Z=(N^+-N^-)\mu_BB=-N\alpha\mu_BB}.$$

(6)

$$E_{\rm tot}=\frac35N\epsilon_F+\frac13N\epsilon_F\alpha^2-N\mu_BB\alpha+O(\alpha^4).$$

微分をゼロとして

$$\boxed{\alpha=\frac{3\mu_BB}{2\epsilon_F},\qquad M=(N^--N^+)\mu_B=N\alpha\mu_B=\frac{3N\mu_B^2B}{2\epsilon_F}}.$$

ここで $M$ は体積で割らない全磁気モーメントである。

(7)

同じ電子対を二重に数えず

$$\boxed{E_{\rm int}^+=-\frac J2N^+(N^+-1)\simeq-\frac{JN^2}{8}(1-\alpha)^2}.$$

(8)

両スピンを加えると $E_{\rm int}\simeq-JN^2(1+\alpha^2)/4$。したがって

$$\widetilde E_{\rm tot}=\text{定数} +N\left(\frac{\epsilon_F}{3}-\frac{JN}{4}\right)\alpha^2-N\mu_BB\alpha+O(\alpha^4).$$

仮定より二次係数は正であり、

$$\boxed{\begin{gathered} \alpha=\frac{3\mu_BB}{2\epsilon_F} \left(1-\frac{3JN}{4\epsilon_F}\right)^{-1},\\ M=\frac{3N\mu_B^2B}{2\epsilon_F} \left(1-\frac{3JN}{4\epsilon_F}\right)^{-1} \end{gathered}}.$$

同方向スピンを有利にする相互作用は磁化率を増大させる。

Reference

• 京都大学公式問題（2015年度、PDF 13–14ページ）