京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2014年9月実施 II-2

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• 产生与湮灭算符
• 二能级系统的时间演化

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

我々が観測する状態がハミルトニアンの固有状態と一致するとは限らない。例えば観測されるニュートリノの弱い相互作用の固有状態は、ニュートリノ一粒子状態のハミルトニアンの固有状態とは一致しない。このような場合に起こる量子振動現象を以下の二つの調和振動子からなる系の量子力学で考えてみよう。以下では、自然単位系 $\hbar=c=1$ を用いる。

以下の交換関係を満たす二組の生成消滅演算子 $\hat a_1,\hat a_1^\dagger,\hat a_2,\hat a_2^\dagger$ で表される調和振動子を考える。

$$[\hat a_i,\hat a_j^\dagger]=\delta_{ij},\quad[\hat a_i,\hat a_j]=0.\tag{A}$$

ここで、$i,j=1,2$、$\delta_{ij}$ はクロネッカーのデルタである。系の真空 $|0\rangle$ は、

$$\hat a_1|0\rangle=0,\quad\hat a_2|0\rangle=0\tag{B}$$

で定義される。二つの調和振動子が相互作用している場合として、以下のハミルトニアンを考えよう。第2項を通じて二つの調和振動子は相互作用している。

$$\begin{aligned} \hat H&=\omega_A\hat a_1^\dagger\hat a_1+\omega_B(\hat a_1^\dagger\hat a_2+\hat a_2^\dagger\hat a_1)+\omega_C\hat a_2^\dagger\hat a_2\\ &=(\hat a_1^\dagger,\hat a_2^\dagger) \begin{pmatrix}\omega_A&\omega_B\\\omega_B&\omega_C\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\hat a_1\\\hat a_2\end{pmatrix}. \end{aligned}\tag{C}$$

ただし、$\omega_A,\omega_B,\omega_C$ は実数とする。

(1) 新しく消滅演算子を、

$$\begin{aligned} \hat b_1&=\hat a_1\cos\theta+\hat a_2\sin\theta,\\ \hat b_2&=-\hat a_1\sin\theta+\hat a_2\cos\theta \end{aligned}$$

のように定義する。このとき実パラメーター $\theta$ を適当に選ぶことで、ハミルトニアンは、

$$\hat H=\sum_{i=1,2}\omega_i\hat b_i^\dagger\hat b_i =(\hat b_1^\dagger,\hat b_2^\dagger) \begin{pmatrix}\omega_1&0\\0&\omega_2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\hat b_1\\\hat b_2\end{pmatrix}$$

の形に書ける。このとき、$\omega_1,\omega_2,\tan2\theta$ を $\omega_A,\omega_B,\omega_C$ を用いて表せ。ただし、$\omega_1\le\omega_2$ とする。

(2) 時刻 $t=0$ で与えられる初期状態が $|\alpha\rangle=\hat a_1^\dagger|0\rangle$ であるとき、時刻 $t$ での状態ベクトルを $|\psi(t)\rangle$ とし、時刻 $t$ で $|\beta\rangle=\hat a_2^\dagger|0\rangle$ にある確率 $P(\alpha\to\beta)(t)=|\langle\beta|\psi(t)\rangle|^2$ を、$\omega_1,\omega_2,\theta$ を用いて表せ。

(3) 前問では時刻 $t=0$ に発生した状態 $|\alpha\rangle$ を時刻 $t$ に状態 $|\beta\rangle$ として観測する確率を計算したが、実際に観測される確率は、以下の時間間隔 $[t-\Delta T/2,t+\Delta T/2]$ に対する時間平均

$$\overline P(\alpha\to\beta)(t)=\frac1{\Delta T}\int_{t-\Delta T/2}^{t+\Delta T/2}dt'\,P(\alpha\to\beta)(t')\tag{D}$$

であるとする。ただし、$t>\Delta T$ とする。このとき $\overline P(\alpha\to\beta)(t)$ の表式を求めよ。

(4) 問 (3) で求めた $\overline P(\alpha\to\beta)(t)$ を $\omega_2>\omega_1$ のときに $\Delta T$ の関数として図示し、これの $\Delta T=0$ での値、及び $\Delta T\gg1/(\omega_2-\omega_1)$ での極限値を図に明記せよ。

题目描述

我们观测到的状态不一定与哈密顿量的本征态一致。例如，观测到的中微子弱相互作用本征态与中微子单粒子哈密顿量的本征态并不相同。下面通过由两个谐振子组成的量子力学系统，考虑这种情况下发生的量子振荡现象。以下采用自然单位制 $\hbar=c=1$。

考虑由两组产生、湮灭算符 $\hat a_1,\hat a_1^\dagger,\hat a_2,\hat a_2^\dagger$ 表示的谐振子，算符满足对易关系

$$[\hat a_i,\hat a_j^\dagger]=\delta_{ij},\quad[\hat a_i,\hat a_j]=0.\tag{A}$$

其中 $i,j=1,2$，$\delta_{ij}$ 是克罗内克符号。系统的真空态 $|0\rangle$ 定义为

$$\hat a_1|0\rangle=0,\quad\hat a_2|0\rangle=0.\tag{B}$$

考虑两个谐振子存在相互作用的情况，哈密顿量为

$$\begin{aligned} \hat H&=\omega_A\hat a_1^\dagger\hat a_1+\omega_B(\hat a_1^\dagger\hat a_2+\hat a_2^\dagger\hat a_1)+\omega_C\hat a_2^\dagger\hat a_2\\ &=(\hat a_1^\dagger,\hat a_2^\dagger) \begin{pmatrix}\omega_A&\omega_B\\\omega_B&\omega_C\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\hat a_1\\\hat a_2\end{pmatrix}. \end{aligned}\tag{C}$$

两个谐振子通过第二项相互作用，且 $\omega_A,\omega_B,\omega_C$ 均为实数。

(1) 定义新的湮灭算符

$$\begin{aligned} \hat b_1&=\hat a_1\cos\theta+\hat a_2\sin\theta,\\ \hat b_2&=-\hat a_1\sin\theta+\hat a_2\cos\theta. \end{aligned}$$

适当选择实参数 $\theta$，哈密顿量可以写成

$$\hat H=\sum_{i=1,2}\omega_i\hat b_i^\dagger\hat b_i =(\hat b_1^\dagger,\hat b_2^\dagger) \begin{pmatrix}\omega_1&0\\0&\omega_2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\hat b_1\\\hat b_2\end{pmatrix}.$$

用 $\omega_A,\omega_B,\omega_C$ 表示 $\omega_1,\omega_2,\tan2\theta$，其中 $\omega_1\le\omega_2$。

(2) 时刻 $t=0$ 的初态为 $|\alpha\rangle=\hat a_1^\dagger|0\rangle$。设时刻 $t$ 的状态矢量为 $|\psi(t)\rangle$，用 $\omega_1,\omega_2,\theta$ 表示时刻 $t$ 处于 $|\beta\rangle=\hat a_2^\dagger|0\rangle$ 的概率 $P(\alpha\to\beta)(t)=|\langle\beta|\psi(t)\rangle|^2$。

(3) 上一问计算了时刻 $t=0$ 产生的状态 $|\alpha\rangle$ 在时刻 $t$ 被观测为 $|\beta\rangle$ 的概率。现设实际观测的概率为时间区间 $[t-\Delta T/2,t+\Delta T/2]$ 内的时间平均：

$$\overline P(\alpha\to\beta)(t)=\frac1{\Delta T}\int_{t-\Delta T/2}^{t+\Delta T/2}dt'\,P(\alpha\to\beta)(t').\tag{D}$$

其中 $t>\Delta T$。求 $\overline P(\alpha\to\beta)(t)$ 的表达式。

(4) 在 $\omega_2>\omega_1$ 时，将问 (3) 所得 $\overline P(\alpha\to\beta)(t)$ 作为 $\Delta T$ 的函数画图，并在图中明确标出 $\Delta T=0$ 时的值和 $\Delta T\gg1/(\omega_2-\omega_1)$ 时的极限值。

Kai

(1)

$D=\sqrt{(\omega_A-\omega_C)^2+4\omega_B^2}$ とおく。特性方程式より

$$\boxed{\omega_{1,2}=\frac{\omega_A+\omega_C\mp D}{2}}.$$

変換後の非対角項は $\omega_B\cos2\theta+(\omega_C-\omega_A)\sin2\theta/2$ なので

$$\boxed{\tan2\theta=\frac{2\omega_B}{\omega_A-\omega_C}}.$$

固有値の順序を指定するには、$D>0$ に対して

$$\cos2\theta=\frac{\omega_C-\omega_A}{D},\qquad \sin2\theta=-\frac{2\omega_B}{D}$$

を選べばよい。$D=0$ では角度は任意である。

(2)

逆変換 $a_1^\dagger=b_1^\dagger\cos\theta-b_2^\dagger\sin\theta$ により

$$|\psi(t)\rangle=(e^{-i\omega_1t}\cos\theta\,b_1^\dagger -e^{-i\omega_2t}\sin\theta\,b_2^\dagger)|0\rangle.$$

したがって

$$\begin{gathered} \langle\beta|\psi(t)\rangle=\sin\theta\cos\theta(e^{-i\omega_1t}-e^{-i\omega_2t}),\\ \boxed{P(t)=\sin^22\theta\,\sin^2\frac{Dt}{2}}. \end{gathered}$$

(3)

$A=\frac12\sin^22\theta$ と書くと $P(t)=A(1-\cos Dt)$。積分して

$$\boxed{\overline P(t)=A\left[1-\cos(Dt)\frac{\sin(D\Delta T/2)}{D\Delta T/2}\right]}.$$

$D=0$ では遷移確率はゼロ。

(4)

$s=D\Delta T/2$ に対する曲線は $A[1-\cos(Dt)\operatorname{sinc}s]$ である。

$$\boxed{\overline P|_{\Delta T=0}=P(t),\qquad \overline P\longrightarrow A=\frac12\sin^22\theta}.$$

$s=n\pi$（$n=1,2,\ldots$）で高さ $A$ を通り、$A$ の上下で振幅が $1/\Delta T$ に比例して減衰する。$\cos Dt>0$ なら $A$ より下から出発し、負なら上下を反転した形、ゼロなら水平線となる。次の図に代表的な三つの場合を示す。

$t>\Delta T$ の制限内で大きい時間窓を考えるには $Dt\gg1$ が必要である。

Reference

• 京都大学公式問題（2015年度、PDF 11–12ページ）