京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2014年9月実施 II-1

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• 哈密顿原理与欧拉–拉格朗日方程
• 功与机械能

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

(1) $x$ の関数 $y(x)$ に対して $y'=dy/dx$ と書く事にする。$y$ と $y'$ の関数 $L(y,y')$ に対して積分

$$T=\int_a^bL(y,y')\,dx\tag{A}$$

を考える。$T$ の $y$ について変分がゼロになるような $y$ の従う微分方程式を書け。ただし $\delta y(a)=0,\delta y(b)=0$ とする。

(2) $y(x)$ が問 (1) で求めた微分方程式の解であるとき

$$\frac d{dx}\left(y'\frac{\partial L}{\partial y'}-L\right)\tag{B}$$

を求めよ。

図1のような地球の表面上の点 $P\;(x=0,y=0)$ から、点 $Q\;(x=a,y=0)$ まで、地下のトンネルを通って、列車で移動できる様にする事を考える。質量 $m$ の列車は重力のみで加速と減速を受け抵抗ゼロで走れるとする。また、地球の表面は平面とし、重力ポテンシャルエネルギーは $g>0$ を一定として、$mgy$ で書けるとする。点 $P$ から最も早く点 $Q$ に到着するには、いかなる経路 $y(x)$ のトンネルを掘れば良いかを、以下のようにして求めよう。

(3) 点 $P$ から速度ゼロで出発して点 $(x,y)$ に到着した時の列車の速さ $V$ を求めよ。

(4) $y(x)$ に沿って列車が進んだとき点 $Q$ に達するまでの時間 $T$ は、式 (A) の形に書ける。$y=y(x)$ に沿った長さ $ds$ が $ds=\sqrt{1+(y')^2}\,dx$ と書ける事に注意して $L(y,y')$ の具体的な表式を書け。

(5) 問 (2) の結果を積分して $y'$ を $y$ で表せ。

(6) $y'=-1/\tan\theta$ で新しい変数 $\theta$ を定義する。このとき $\theta$ の関数として $y(\theta)$ を求めよ。

(7) $x$ も $\theta$ の関数 $x(\theta)$ と考えると

$$\frac{dx}{d\theta}=\frac{dy}{d\theta}\frac1{y'}\tag{C}$$

となる。$x(\theta)$ は、この微分方程式を解く事により求める事ができる。$x=0$ と $x=a$ で $y=0$ となる条件から $x(\theta)$ を求めよ。

(8) トンネルで一番深い点の $x$ 座標と $y$ 座標を求めよ。

(9) 最短の時間 $T$ を求めよ。

(10) $g=9.8\,\mathrm{m\,s^{-2}}$、$a=1.0\times10^6\,\mathrm m$ とした時、上で求めた最短の時間 $T$ は、何秒かを有効数字2桁で答えよ。

题目描述

(1) 对 $x$ 的函数 $y(x)$，记 $y'=dy/dx$。对关于 $y$ 和 $y'$ 的函数 $L(y,y')$，考虑积分

$$T=\int_a^bL(y,y')\,dx.\tag{A}$$

写出使 $T$ 关于 $y$ 的变分为零时，$y$ 所满足的微分方程。其中 $\delta y(a)=0,\delta y(b)=0$。

(2) 当 $y(x)$ 是问 (1) 所求微分方程的解时，求

$$\frac d{dx}\left(y'\frac{\partial L}{\partial y'}-L\right).\tag{B}$$

如图1，考虑修建地下隧道，使列车可以从地球表面的点 $P\;(x=0,y=0)$ 行驶到点 $Q\;(x=a,y=0)$。设质量为 $m$ 的列车只受重力而加速或减速，且行驶阻力为零。将地球表面视为平面，取 $g>0$ 为常数，重力势能可写为 $mgy$。为从点 $P$ 最快到达点 $Q$，应该沿怎样的路径 $y(x)$ 挖掘隧道？按下列步骤求解。

(3) 列车从点 $P$ 以零速度出发，求其到达点 $(x,y)$ 时的速率 $V$。

(4) 列车沿 $y(x)$ 行进，到达点 $Q$ 所需的时间 $T$ 可以写成式 (A) 的形式。注意沿 $y=y(x)$ 的线元满足 $ds=\sqrt{1+(y')^2}\,dx$，写出 $L(y,y')$ 的具体表达式。

(5) 对问 (2) 的结果积分，用 $y$ 表示 $y'$。

(6) 通过 $y'=-1/\tan\theta$ 定义新变量 $\theta$，求此时作为 $\theta$ 的函数的 $y(\theta)$。

(7) 将 $x$ 也视为 $\theta$ 的函数 $x(\theta)$，则

$$\frac{dx}{d\theta}=\frac{dy}{d\theta}\frac1{y'}.\tag{C}$$

解这个微分方程便可求出 $x(\theta)$。利用在 $x=0$ 和 $x=a$ 时均有 $y=0$ 的条件，求 $x(\theta)$。

(8) 求隧道最深点的 $x$ 坐标和 $y$ 坐标。

(9) 求最短时间 $T$。

(10) 当 $g=9.8\,\mathrm{m\,s^{-2}}$、$a=1.0\times10^6\,\mathrm m$ 时，以上求得的最短时间 $T$ 为多少秒？用两位有效数字回答。

Kai

(1)

部分積分して端点項を消すと

$$\delta T=\int_a^b\left(\frac{\partial L}{\partial y}-\frac d{dx}\frac{\partial L}{\partial y'}\right)\delta y\,dx.$$

任意の $\delta y$ に対しゼロなので

$$\boxed{\frac d{dx}\frac{\partial L}{\partial y'}-\frac{\partial L}{\partial y}=0}.$$

(2)

$L$ は $x$ を陽に含まないため

$$\boxed{\frac d{dx}(y'L_{y'}-L)=y'\left(\frac d{dx}L_{y'}-L_y\right)=0}.$$

(3)

エネルギー保存 $mV^2/2+mgy=0$ より

$$\boxed{V=\sqrt{-2gy}}\qquad(y\le0).$$

(4)

$$\boxed{L(y,y')=\sqrt{\frac{1+y'^2}{-2gy}}}.$$

(5)

$$y'L_{y'}-L=-\frac1{\sqrt{-2gy(1+y'^2)}}=\text{一定}.$$

正定数 $C$ を導入すれば $-y(1+y'^2)=C$、すなわち

$$\boxed{y'=\pm\sqrt{-\frac Cy-1}}.$$

(6)

$1+\cot^2\theta=\csc^2\theta$ より

$$\boxed{y(\theta)=-C\sin^2\theta}\qquad(0\le\theta\le\pi).$$

(7)

$$\frac{dx}{d\theta}=2C\sin^2\theta, \qquad x=C\left(\theta-\frac12\sin2\theta\right)+D.$$

$x(0)=0,x(\pi)=a$ より $D=0,C=a/\pi$。したがって最速降下曲線はサイクロイドの一弧

$$\boxed{x=\frac a\pi\left(\theta-\frac12\sin2\theta\right),\qquad y=-\frac a\pi\sin^2\theta}.$$

途中で地表に再び接する多重の弧は所要時間を増加させるので、一弧を選ぶ。

(8)

$\theta=\pi/2$ で最も深く、

$$\boxed{(x,y)=\left(\frac a2,-\frac a\pi\right)}.$$

(9)

$ds/d\theta=2C\sin\theta$、$V=\sqrt{2gC}\sin\theta$ より

$$\boxed{T=\int_0^\pi\sqrt{\frac{2C}g}\,d\theta=\sqrt{\frac{2\pi a}g}}.$$

(10)

$$T=\sqrt{\frac{2\pi\times10^6}{9.8}}\,\mathrm s\simeq800.7\,\mathrm s, \qquad\boxed{T=8.0\times10^2\,\mathrm s}.$$

Reference

• 京都大学公式問題（2015年度、PDF 9–10ページ）