京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2014年9月実施 III-3

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

磁気モーメントを持つ $N$ 個の粒子の間に距離によらない相互作用が働く次のような系を用いて、磁性体の相転移について考える。すなわち、粒子 $i\;(i=1,\ldots,N)$ の磁気モーメントを $\boldsymbol\mu_i$ とするとき、すべての粒子対 $(i,j)$ が相互作用エネルギー $-(J/N)\boldsymbol\mu_i\cdot\boldsymbol\mu_j\;(J>0)$ をもつとする。したがって、ハミルトニアンは

$$\begin{aligned} H(\{\boldsymbol\mu_i\})&=-\frac JN\sum_{(i,j)}\boldsymbol\mu_i\cdot\boldsymbol\mu_j\\ &=-\frac J{2N}\sum_{i=1}^N\sum_{\substack{j=1\\j\ne i}}^N\boldsymbol\mu_i\cdot\boldsymbol\mu_j \end{aligned}\tag{A}$$

で与えられる。ただし、磁気モーメント $\boldsymbol\mu_i$ は、図1に示すような互いに $120^\circ$ の角度をなす3つの向きのいずれかを取るベクトルとし、その大きさは $\mu=|\boldsymbol\mu_i|$ とする。また、図1のように磁気モーメントの向きにしたがって粒子の状態1、2、3を定める。状態1の向きは $x$ 軸の正の向きである。

(1) 状態1、2、3を取る粒子数をそれぞれ $N_1,N_2,N_3$（したがって $N_1+N_2+N_3=N$）とするとき、全磁化 $\sum_{i=1}^N\boldsymbol\mu_i$ の $x$ 成分 $M$ を $(N_1,N_2,N_3)$ を用いて表す式を求めよ。また、同様にハミルトニアン (A) を $(N_1,N_2,N_3)$ を用いて表すと、

$$H(N_1,N_2,N_3)=\frac{J\mu^2}{4N}\left[2N-(N_1-N_2)^2-(N_2-N_3)^2-(N_3-N_1)^2\right]\tag{B}$$

となることを示せ。

(2) $(N_1,N_2,N_3)$ に対応する系全体の状態 $\{\boldsymbol\mu_i\}$ の数を $\nu(N_1,N_2,N_3)$ とすると、エントロピーは $S(N_1,N_2,N_3)=k_B\log\nu(N_1,N_2,N_3)$ で与えられる。ただし、$k_B$ はボルツマン定数である。$N$ が大きいときのスターリングの公式 $\log N!\simeq N\log N-N$ を用いて、$N_1\gg1,N_2\gg1,N_3\gg1$ における $S(N_1,N_2,N_3)$ の漸近形を求めよ。

この系の温度 $T$ における分配関数

$$Z_N(T)=\sum_{\{\boldsymbol\mu_i\}}\exp\left[-\frac{H(\{\boldsymbol\mu_i\})}{k_BT}\right]$$

は、

$$F(T;N_1,N_2,N_3)=H(N_1,N_2,N_3)-TS(N_1,N_2,N_3)\tag{C}$$

とおくと、$N$ の分割 $(N_1,N_2,N_3)$ についての和

$$Z_N(T)=\sum_{(N_1,N_2,N_3)}\exp\left[-\frac{F(T;N_1,N_2,N_3)}{k_BT}\right]\tag{D}$$

で表される。また、式 (D) が成り立つとき、系の自由エネルギー $F(T)$ は $N\to\infty$ で漸近的に $F(T;N_1,N_2,N_3)$ の最小値と一致する。すなわち、

$$F(T)=\min_{(N_1,N_2,N_3)}F(T;N_1,N_2,N_3)\tag{E}$$

が成り立つ。このことを用いて系の熱力学的性質を議論しよう。

(3) $N_2=N_3$ を仮定すると、$F(T;N_1,N_2,N_3)$ を $(N_1,N_2,N_3)$ の代わりに磁化 $M$ を用いて表すことができる。この関数 $F(T;M)$ を求めよ。

(4) $N_2=N_3$ の条件の下で、$F(T;M)$ の極値を与える磁化 $M$ が満たすべき式を求めよ。

(5) 高温から温度を下げていくと、ある温度 $T_c$ で磁化 $M$ が0から $M_s\;(\ne0)$ へ不連続に変化する1次相転移が起きた。$T_c$ と $M_s$ が満たすべき式を $F(T;M)$ を用いて表せ。

(6) $M_s=N\mu/2$ が問 (5) の条件を満たすことを示し、転移温度 $T_c$ を求めよ。

题目描述

用以下具有与距离无关的相互作用的 $N$ 个磁矩粒子组成的系统，考虑磁性体的相变。记粒子 $i\;(i=1,\ldots,N)$ 的磁矩为 $\boldsymbol\mu_i$，设所有粒子对 $(i,j)$ 的相互作用能为 $-(J/N)\boldsymbol\mu_i\cdot\boldsymbol\mu_j\;(J>0)$。因此哈密顿量为

$$\begin{aligned} H(\{\boldsymbol\mu_i\})&=-\frac JN\sum_{(i,j)}\boldsymbol\mu_i\cdot\boldsymbol\mu_j\\ &=-\frac J{2N}\sum_{i=1}^N\sum_{\substack{j=1\\j\ne i}}^N\boldsymbol\mu_i\cdot\boldsymbol\mu_j. \end{aligned}\tag{A}$$

磁矩 $\boldsymbol\mu_i$ 只能取图1所示彼此相隔 $120^\circ$ 的三个方向之一，大小为 $\mu=|\boldsymbol\mu_i|$。按图1中的磁矩方向，定义粒子的状态1、2、3。状态1沿 $x$ 轴正方向。

(1) 将处于状态1、2、3的粒子数分别记为 $N_1,N_2,N_3$，满足 $N_1+N_2+N_3=N$。用 $(N_1,N_2,N_3)$ 表示总磁化 $\sum_{i=1}^N\boldsymbol\mu_i$ 的 $x$ 分量 $M$。同样用 $(N_1,N_2,N_3)$ 表示哈密顿量 (A)，证明

$$H(N_1,N_2,N_3)=\frac{J\mu^2}{4N}\left[2N-(N_1-N_2)^2-(N_2-N_3)^2-(N_3-N_1)^2\right].\tag{B}$$

(2) 将对应于 $(N_1,N_2,N_3)$ 的整个系统的状态 $\{\boldsymbol\mu_i\}$ 的数目记为 $\nu(N_1,N_2,N_3)$，则熵为 $S(N_1,N_2,N_3)=k_B\log\nu(N_1,N_2,N_3)$，其中 $k_B$ 为玻尔兹曼常数。利用大 $N$ 时的斯特林公式 $\log N!\simeq N\log N-N$，求 $N_1\gg1,N_2\gg1,N_3\gg1$ 时 $S(N_1,N_2,N_3)$ 的渐近形式。

该系统在温度 $T$ 时的配分函数为

$$Z_N(T)=\sum_{\{\boldsymbol\mu_i\}}\exp\left[-\frac{H(\{\boldsymbol\mu_i\})}{k_BT}\right].$$

令

$$F(T;N_1,N_2,N_3)=H(N_1,N_2,N_3)-TS(N_1,N_2,N_3),\tag{C}$$

则配分函数可表示为对 $N$ 的所有分割 $(N_1,N_2,N_3)$ 求和：

$$Z_N(T)=\sum_{(N_1,N_2,N_3)}\exp\left[-\frac{F(T;N_1,N_2,N_3)}{k_BT}\right].\tag{D}$$

当式 (D) 成立时，系统的自由能 $F(T)$ 在 $N\to\infty$ 时渐近等于 $F(T;N_1,N_2,N_3)$ 的最小值，即

$$F(T)=\min_{(N_1,N_2,N_3)}F(T;N_1,N_2,N_3).\tag{E}$$

利用这一事实讨论系统的热力学性质。

(3) 假设 $N_2=N_3$，则可用磁化 $M$ 代替 $(N_1,N_2,N_3)$ 来表示 $F(T;N_1,N_2,N_3)$。求该函数 $F(T;M)$。

(4) 在 $N_2=N_3$ 的条件下，求使 $F(T;M)$ 取得极值的磁化 $M$ 所满足的方程。

(5) 从高温逐渐降温时，在某个温度 $T_c$ 发生一级相变，磁化 $M$ 从0不连续地变为 $M_s\;(\ne0)$。用 $F(T;M)$ 表示 $T_c,M_s$ 应满足的方程。

(6) 证明 $M_s=N\mu/2$ 满足问 (5) 的条件，并求相变温度 $T_c$。

Kai

(1)

$$\boxed{M=\mu\left(N_1-\frac{N_2+N_3}{2}\right)=\frac\mu2(3N_1-N)}.$$

同方向の内積は $\mu^2$、異方向は $-\mu^2/2$ なので

$$H=-\frac{J\mu^2}{2N}\left[\sum_{i=1}^3N_i(N_i-1)-\sum_{i<j}N_iN_j\right].$$

$\sum_{i<j}(N_i-N_j)^2=2\sum_iN_i^2-2\sum_{i<j}N_iN_j$ を用いれば指定された形を得る。

(2)

$$\nu=\frac{N!}{N_1!N_2!N_3!}, \qquad\boxed{S\simeq k_B\left(N\log N-\sum_iN_i\log N_i\right)}.$$

(3)

$q=M/(N\mu)$、$-1/2\le q\le1$ とおくと

$$N_1=\frac N3(1+2q),\qquad N_2=N_3=\frac N3(1-q).$$

よって

$$\boxed{\begin{gathered} F(T;M)={}\frac{J\mu^2}{2}-\frac{NJ\mu^2q^2}{2}\\ +Nk_BT\left[\frac{1+2q}{3}\log\frac{1+2q}{3} +\frac{2(1-q)}3\log\frac{1-q}{3}\right] \end{gathered}}.$$

端点では $x\log x\to0$ を用いる。

(4)

内部の極値では $\partial F/\partial M=0$、すなわち

$$\boxed{\log\frac{1+2q}{1-q}=\frac{3J\mu^2}{2k_BT}q}.$$

(5)

二つの安定な極小の自由エネルギーが等しいので

$$\boxed{F(T_c;M_s)=F(T_c;0),\qquad \left.\frac{\partial F}{\partial M}\right|_{T_c,M_s}=0}.$$

$M=0$ でも自動的に一階微分がゼロであり、両状態が極小であることを確認する。

(6)

$q_s=1/2$ とすると

$$F(T;N\mu/2)-F(T;0) =-\frac{NJ\mu^2}{8}+\frac{Nk_BT}{3}\log2.$$

両者が等しい温度は

$$\boxed{T_c=\frac{3J\mu^2}{8k_B\log2}}.$$

このとき (4) の左辺は $\log4=2\log2$、右辺も $3J\mu^2/(4k_BT_c)=2\log2$ で一致する。さらに $q=0,1/2$ の両点で

$$\frac1N\frac{\partial^2F}{\partial q^2} =-J\mu^2+2k_BT_c =J\mu^2\left(\frac3{4\log2}-1\right)>0,$$

したがって両点は安定な極小である。

Reference

• 京都大学公式問題（2015年度、PDF 20–21ページ）