京都大学 理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻 2014年9月実施 III-1

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• 电介质与边界条件
• 电磁波
• 费马原理与斯涅尔定律

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

Maxwell 方程式は電磁場の基本方程式であり、すべての電磁気的現象は下に示す4つの方程式によって記述される。

$$\begin{aligned} \nabla\cdot\boldsymbol D(\boldsymbol r,t)&=\rho(\boldsymbol r,t),\\ \nabla\cdot\boldsymbol B(\boldsymbol r,t)&=0,\\ \nabla\times\boldsymbol H(\boldsymbol r,t)-\frac{\partial\boldsymbol D}{\partial t}&=\boldsymbol j(\boldsymbol r,t),\\ \nabla\times\boldsymbol E(\boldsymbol r,t)+\frac{\partial\boldsymbol B}{\partial t}&=\boldsymbol0. \end{aligned}$$

$\boldsymbol E$ と $\boldsymbol D$（$\boldsymbol H$ と $\boldsymbol B$）は、それぞれ電場強度と電束密度（磁場強度と磁束密度）であり、誘電率 $\epsilon$（透磁率 $\mu$）により $\boldsymbol D=\epsilon\boldsymbol E$（$\boldsymbol B=\mu\boldsymbol H$）として関連付けられる。また、$\boldsymbol j$ と $\rho$ は空間的に分布する電流密度と電荷密度である。

図1に示すように誘電率と透磁率がそれぞれ $(\epsilon_1,\mu_1),(\epsilon_2,\mu_2)$ である誘電体1と誘電体2が境界面（$z=0$）において接触している場合を考える。ただし、$\epsilon_1<\epsilon_2$ であり、誘電体はどちらも帯電していないものとする。図1は $zx$ 平面を示した図であり、$y$ 軸は紙面に対して上向きに定義されている。

(1) 誘電体1の内部における電磁場の強度

$$\boldsymbol E_1=(E_{1x},E_{1y},E_{1z}),\quad\boldsymbol B_1=(B_{1x},B_{1y},B_{1z})$$

と誘電体2の内部における電磁場の強度

$$\boldsymbol E_2=(E_{2x},E_{2y},E_{2z}),\quad\boldsymbol B_2=(B_{2x},B_{2y},B_{2z})$$

とが境界面上において満たすすべき境界条件を、Maxwell 方程式に基づいて導け。

(2) $\rho(\boldsymbol r,t)=0$ であり、かつ、$\boldsymbol j(\boldsymbol r,t)=\boldsymbol0$ である領域において、電場強度 $\boldsymbol E(\boldsymbol r,t)$ が満たすすべき波動方程式を Maxwell 方程式に基づいて導け。

この誘電体の境界面に対し、図2に示すように、誘電体1の側から電磁波 $A$ が $y=0$ の面内を角度 $\phi\;(0<\phi<\pi/2)$ で入射して、境界面上で反射波 $A'$ と屈折波 $A''$ が発生する状況を考える。入射波の電場が

$$\boldsymbol E(\boldsymbol r,t)=\boldsymbol I e^{i(\boldsymbol k\cdot\boldsymbol r-\omega t)}$$

で与えられるとき、以下の問いに答えよ。ただし、$\boldsymbol I$ は電場の振幅を与える定ベクトルである。

(3) 入射波の位相速度 $\boldsymbol v$ の絶対値を $\epsilon_1$ と $\mu_1$ を用いて表せ。また、この位相速度 $\boldsymbol v$ と電場の振幅ベクトル $\boldsymbol I$ が成す角を求めよ。

(4) 入射波の磁場 $\boldsymbol B(\boldsymbol r,t)$ を求めよ。

反射波 $A'$ と屈折波 $A''$ の電場をそれぞれ、

$$\begin{aligned} \boldsymbol E'(\boldsymbol r,t)&=\boldsymbol R e^{i(\boldsymbol k'\cdot\boldsymbol r-\omega't)},\\ \boldsymbol E''(\boldsymbol r,t)&=\boldsymbol F e^{i(\boldsymbol k''\cdot\boldsymbol r-\omega''t)} \end{aligned}$$

とおくことにする。

(5) 問 (1) で得た境界条件は、境界面上の任意の点において常に満たされていなければならない。この事実に基づいて、反射角 $\phi'$ と屈折角 $\chi$ を $\phi,\epsilon_1,\mu_1,\epsilon_2,\mu_2$ のうち必要なものを用いて表せ。

题目描述

麦克斯韦方程是电磁场的基本方程，所有电磁现象均由以下四个方程描述：

$$\begin{aligned} \nabla\cdot\boldsymbol D(\boldsymbol r,t)&=\rho(\boldsymbol r,t),\\ \nabla\cdot\boldsymbol B(\boldsymbol r,t)&=0,\\ \nabla\times\boldsymbol H(\boldsymbol r,t)-\frac{\partial\boldsymbol D}{\partial t}&=\boldsymbol j(\boldsymbol r,t),\\ \nabla\times\boldsymbol E(\boldsymbol r,t)+\frac{\partial\boldsymbol B}{\partial t}&=\boldsymbol0. \end{aligned}$$

$\boldsymbol E$ 和 $\boldsymbol D$（$\boldsymbol H$ 和 $\boldsymbol B$）分别为电场强度和电位移（磁场强度和磁感应强度），通过介电常数 $\epsilon$（磁导率 $\mu$）以 $\boldsymbol D=\epsilon\boldsymbol E$（$\boldsymbol B=\mu\boldsymbol H$）相联系。$\boldsymbol j$ 和 $\rho$ 分别为空间分布的电流密度和电荷密度。

如图1，考虑介电常数和磁导率分别为 $(\epsilon_1,\mu_1)$、$(\epsilon_2,\mu_2)$ 的电介质1和电介质2在边界面 $z=0$ 接触的情形。其中 $\epsilon_1<\epsilon_2$，两种介质均不带电。图1展示 $zx$ 平面，$y$ 轴定义为垂直纸面向外的方向。

(1) 电介质1内部的电磁场为

$$\boldsymbol E_1=(E_{1x},E_{1y},E_{1z}),\quad\boldsymbol B_1=(B_{1x},B_{1y},B_{1z}),$$

电介质2内部的电磁场为

$$\boldsymbol E_2=(E_{2x},E_{2y},E_{2z}),\quad\boldsymbol B_2=(B_{2x},B_{2y},B_{2z}).$$

根据麦克斯韦方程，推导这些场在边界面上应满足的边界条件。

(2) 在 $\rho(\boldsymbol r,t)=0$ 且 $\boldsymbol j(\boldsymbol r,t)=\boldsymbol0$ 的区域内，根据麦克斯韦方程推导电场强度 $\boldsymbol E(\boldsymbol r,t)$ 应满足的波动方程。

如图2，电磁波 $A$ 从电介质1一侧，在 $y=0$ 平面内以角度 $\phi\;(0<\phi<\pi/2)$ 入射到介质边界，并在边界面产生反射波 $A'$ 和折射波 $A''$。设入射波的电场为

$$\boldsymbol E(\boldsymbol r,t)=\boldsymbol I e^{i(\boldsymbol k\cdot\boldsymbol r-\omega t)},$$

其中 $\boldsymbol I$ 为给出电场振幅的常向量，回答下列问题。

(3) 用 $\epsilon_1,\mu_1$ 表示入射波相速度 $\boldsymbol v$ 的大小，并求相速度 $\boldsymbol v$ 与电场振幅向量 $\boldsymbol I$ 的夹角。

(4) 求入射波的磁场 $\boldsymbol B(\boldsymbol r,t)$。

将反射波 $A'$ 和折射波 $A''$ 的电场分别记为

$$\begin{aligned} \boldsymbol E'(\boldsymbol r,t)&=\boldsymbol R e^{i(\boldsymbol k'\cdot\boldsymbol r-\omega't)},\\ \boldsymbol E''(\boldsymbol r,t)&=\boldsymbol F e^{i(\boldsymbol k''\cdot\boldsymbol r-\omega''t)}. \end{aligned}$$

(5) 问 (1) 所得的边界条件必须在边界面上任意一点、任意时刻成立。利用这一事实，从 $\phi,\epsilon_1,\mu_1,\epsilon_2,\mu_2$ 中选择必要的量，表示反射角 $\phi'$ 和折射角 $\chi$。

Kai

(1)

境界をまたぐ高さが微小な長方形に回転の方程式を積分すると、接線成分について

$$\boxed{E_{1x}=E_{2x},\quad E_{1y}=E_{2y},\quad \frac{B_{1x}}{\mu_1}=\frac{B_{2x}}{\mu_2},\quad \frac{B_{1y}}{\mu_1}=\frac{B_{2y}}{\mu_2}}.$$

また薄い円柱に発散の方程式を積分すると

$$\boxed{\epsilon_1E_{1z}=\epsilon_2E_{2z},\qquad B_{1z}=B_{2z}}.$$

自由表面電荷・表面電流がないことを使った。

(2)

$\nabla\cdot\boldsymbol E=0$ と $\nabla\times\boldsymbol B=\mu\epsilon\partial_t\boldsymbol E$ より

$$-\nabla^2\boldsymbol E=\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol E) =-\mu\epsilon\partial_t^2\boldsymbol E.$$

したがって

$$\boxed{\nabla^2\boldsymbol E-\mu\epsilon\partial_t^2\boldsymbol E=0}.$$

(3)

平面波を代入すると $k^2=\epsilon_1\mu_1\omega^2$。また $\nabla\cdot\boldsymbol E=0$ より $\boldsymbol k\cdot\boldsymbol I=0$。

$$\boxed{|\boldsymbol v|=\frac1{\sqrt{\epsilon_1\mu_1}},\qquad \angle(\boldsymbol v,\boldsymbol I)=\frac\pi2}.$$

(4)

ファラデーの法則から $i\boldsymbol k\times\boldsymbol E=i\omega\boldsymbol B$ なので

$$\boxed{\boldsymbol B(\boldsymbol r,t)=\frac{\boldsymbol k\times\boldsymbol I}{\omega} e^{i(\boldsymbol k\cdot\boldsymbol r-\omega t)}}.$$

(5)

境界上で位相が一致するには

$$\omega=\omega'=\omega'',\qquad \boldsymbol k_\parallel=\boldsymbol k'_\parallel=\boldsymbol k''_\parallel.$$

同一媒質内では $|\boldsymbol k|=|\boldsymbol k'|$ なので

$$\boxed{\phi'=\phi,\qquad \sin\chi=\sqrt{\frac{\epsilon_1\mu_1}{\epsilon_2\mu_2}}\sin\phi}.$$

伝播する屈折波がある場合、$\chi$ は右辺の逆正弦である。右辺が 1 を超えると実数の屈折角はなく、全反射となって媒質 2 側には減衰波が生じる。$\epsilon_1<\epsilon_2$ だけでは、透磁率が異なる場合まで全反射を排除できない。

Reference

• 京都大学公式問題（2015年度、PDF 16–17ページ）