京都大学理学研究科数学・数理解析専攻 2024年度専門科目問題7

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

$H$ をヒルベルト空間とし、 $H_1,H_2,\ldots$ を互いに直交する $H$ の有限次元部分空間で、

\left(\bigcup_{n=1}^\infty H_n\right)^\perp=\{0\}

を満たすものとする。正整数 $n$ に対して $P_n$ を $H$ から $H_n$ への直交射影とし、整数 $n\le0$ に対しては $P_n=0$ とする。

有界線型作用素 $T:H\to H$ が次の2条件を満たすとする。

(i) $\lim_{n\to\infty}\|TP_n\|=0$ 。

(ii) $a_n=\sup_{k\ge1}\|P_{n+k}TP_k\|$ とするとき、 $\sum_{n\in\mathbb Z}a_n<\infty$ 。

ここで作用素 $A$ に対して $\|A\|$ はその作用素ノルムとする。 $n\in\mathbb Z$ に対して作用素 $S_n:H\to H$ を

S_nx=\sum_{k=1}^\infty P_{n+k}TP_kx\qquad(x\in H)

と定める。

设 $H$ 是希尔伯特空间， $H_1,H_2,\ldots$ 是两两正交的有限维子空间，满足 $(\bigcup_{n\ge1}H_n)^\perp=\{0\}$ 。正整数 $n$ 时， $P_n$ 为到 $H_n$ 的正交投影；整数 $n\le0$ 时令 $P_n=0$ 。

有界线性算子 $T:H\to H$ 满足

\|TP_n\|\to0,\qquad \sum_{n\in\mathbb Z}a_n<\infty,\qquad a_n=\sup_{k\ge1}\|P_{n+k}TP_k\|,

其中 $\|\cdot\|$ 表示算子范数。对 $n\in\mathbb Z$ ，定义

S_nx=\sum_{k=1}^\infty P_{n+k}TP_kx.

仮定より $H$ は $H_k$ の直交直和の閉包であり、任意の $x\in H$ に対し

x=\sum_{k=1}^\infty P_kx,\qquad \|x\|^2=\sum_{k=1}^\infty\|P_kx\|^2

が成り立つ。

固定した $n$ に対し、 $P_{n+k}TP_kx$ は $k$ ごとに互いに直交する。また

\sum_{k=1}^\infty\|P_{n+k}TP_kx\|^2 \le a_n^2\sum_{k=1}^\infty\|P_kx\|^2=a_n^2\|x\|^2.

従って $S_nx$ の級数は $H$ で収束し、 $\|S_nx\|\le a_n\|x\|$ 、すなわち $\boxed{\|S_n\|\le a_n}$ である。

$S_{n,N}=\sum_{k=1}^N P_{n+k}TP_k$ は有限階数作用素である。(1) と同じ直交性による評価から

\|S_n-S_{n,N}\| \le\sup_{k>N}\|P_{n+k}TP_k\| \le\sup_{k>N}\|TP_k\|\longrightarrow0.

従って $S_n$ は有限階数作用素の作用素ノルム極限であり、コンパクトである。

$\sum_{n\in\mathbb Z}\|S_n\|\le\sum_{n\in\mathbb Z}a_n<\infty$ より、 $S=\sum_{n\in\mathbb Z}S_n$ は作用素ノルムで収束する。(2) から $S$ はコンパクトである。

$x\in H_k$ に対しては $S_nx=P_{n+k}Tx$ なので

Sx=\sum_{n\in\mathbb Z}P_{n+k}Tx =\sum_{r=1}^\infty P_rTx=Tx.

有限個の $H_k$ の元の和は $H$ に稠密であり、 $S,T$ は有界であるから $S=T$ 。従って $T$ はコンパクトである。