京都大学 理学研究科 数学・数理解析専攻 2023年8月実施 専門科目 問題6

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Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$\Phi$ は区間 $[0,\infty)$ 上の単調増加で下に凸な連続関数であり、さらに $\Phi(0)=0$ および $\Phi(t)\ge t$ ($t\ge0$) を満たすとする。

$\mathcal L$ を，$\mathbb R$ 上の実数値ルベーグ可測関数 $f$ で，ある $\lambda>0$ に対して

$$\int_{\mathbb R}\Phi\left(\frac{|f(x)|}{\lambda}\right)\,dx\le1$$

を満たすもの全体の集合と定める。また、$f\in\mathcal L$ に対して

$$\|f\|=\inf\left\{\lambda>0\ \middle|\ \int_{\mathbb R}\Phi\left(\frac{|f(x)|}{\lambda}\right)dx\le1\right\}$$

とする。以下の問に答えよ。

1. $f\in\mathcal L$ のとき、$\int_{\mathbb R}|f(x)|\,dx\le\|f\|$ であることを示せ。
2. $f,g\in\mathcal L$ とする。$f-g\in\mathcal L$ であることと、$\|f-g\|\le\|f\|+\|g\|$ が成り立つことを示せ。
3. $\mathcal L$ の元からなる列 $\{f_m\}_{m=1}^\infty$ が、任意の $\varepsilon>0$ に対してある正整数 $N$ が存在して、$m,n\ge N$ のとき $\|f_m-f_n\|<\varepsilon$ を満たすとする。このとき $\lim_{m\to\infty}\|f_m-f\|=0$ を満たす $f\in\mathcal L$ が存在することを示せ。

题目描述

设 $\Phi$ 是区间 $[0,\infty)$ 上单调递增的连续凸函数，并满足 $\Phi(0)=0$ 及 $\Phi(t)\ge t$（$t\in[0,\infty)$）。定义 $\mathcal L$ 为所有满足以下条件的 $\mathbb R$ 上实值勒贝格可测函数 $f$ 组成的集合：存在 $\lambda>0$ 使得

$$\int_{\mathbb R}\Phi\left(\frac{|f(x)|}{\lambda}\right)\,dx\le1.$$

对 $f\in\mathcal L$，定义

$$\|f\|=\inf\left\{\lambda>0\ \middle|\ \int_{\mathbb R}\Phi\left(\frac{|f(x)|}{\lambda}\right)\,dx\le1\right\}.$$

回答下列问题。

(1) 当 $f\in\mathcal L$ 时，证明 $\int_{\mathbb R}|f(x)|\,dx\le\|f\|$。

(2) 设 $f,g\in\mathcal L$。证明 $f-g\in\mathcal L$ 且 $\|f-g\|\le\|f\|+\|g\|$。

(3) 假设由 $\mathcal L$ 的元素组成的序列 $\{f_m\}_{m=1}^{\infty}$ 具有以下性质：对任意 $\varepsilon>0$，存在正整数 $N$，使 $m\ge N,n\ge N$ 时 $\|f_m-f_n\|<\varepsilon$。证明存在 $f\in\mathcal L$，使 $\lim_{m\to\infty}\|f_m-f\|=0$。

Kai

$\rho_\lambda(h)=\int_{\mathbb R}\Phi(|h|/\lambda)\,dx$ とおく。$\Phi$ の単調性から、$h\in\mathcal L$ に対し $\lambda>\|h\|$ ならば $\rho_\lambda(h)\le1$ である。実際、定義より $\rho_\eta(h)\le1$ となる $0<\eta<\lambda$ が存在する。

(1)

$\rho_\lambda(f)\le1$ となる任意の $\lambda>0$ に対し、$\Phi(t)\ge t$ より

$$\frac1\lambda\int_{\mathbb R}|f(x)|\,dx\le\rho_\lambda(f)\le1.$$

許される $\lambda$ の下限を取れば $\|f\|_{L^1}\le\|f\|$ を得る。

(2)

$\alpha>\|f\|$, $\beta>\|g\|$ を取る。$|f-g|\le|f|+|g|$ と $\Phi$ の単調性・凸性から

$$\Phi\left(\frac{|f-g|}{\alpha+\beta}\right) \le\frac\alpha{\alpha+\beta}\Phi\left(\frac{|f|}\alpha\right) +\frac\beta{\alpha+\beta}\Phi\left(\frac{|g|}\beta\right).$$

積分すると $\rho_{\alpha+\beta}(f-g)\le1$。従って $f-g\in\mathcal L$ かつ $\|f-g\|\le\alpha+\beta$。$\alpha\downarrow\|f\|$, $\beta\downarrow\|g\|$ として結論を得る。

(3)

(1) により $\{f_m\}$ は $L^1(\mathbb R)$ の Cauchy 列である。$L^1$ の完備性から、ある $f\in L^1$ に $L^1$ 収束する。さらに部分列 $f_{m_j}$ を選んで $f_{m_j}\to f$ がほとんど至る所で成り立つようにできる。零集合上で値を定め直し、$f$ を実数値可測関数とする。

任意の $\varepsilon>0$ に対し、$m,n\ge N$ なら $\|f_m-f_n\|<\varepsilon$ となる $N$ を取る。$m\ge N$ を固定すると、十分大きい $j$ について

$$\int_{\mathbb R}\Phi\left(\frac{|f_m-f_{m_j}|}{\varepsilon}\right)dx\le1.$$

$\Phi$ の連続性と Fatou の補題から

$$\int_{\mathbb R}\Phi\left(\frac{|f_m-f|}{\varepsilon}\right)dx\le1.$$

よって $f_m-f\in\mathcal L$ かつ $\|f_m-f\|\le\varepsilon$。一つの $m\ge N$ を固定して (2) を用いれば、$f=f_m-(f_m-f)\in\mathcal L$ も従う。$\varepsilon>0$ は任意なので $\|f_m-f\|\to0$ である。

Reference

• 京都大学公式問題（2024年度・専門科目、PDF 5ページ）
• 照合用参考解答（2024年度・専門科目 問題6、PDF 1–2ページ）