京都大学 理学研究科 数学・数理解析専攻 2023年8月実施 専門科目 [13]

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• Ermakov-Pinney-Equation
• Lewis-Riesenfeld-Invariant
• Creation-and-Annihilation-Operators
• Canonical-Commutation-Relations
• Quantum-State-Time-Evolution

Author

Miyake

Description

以下の問に答えよ．

(i) 時間 $t \in \mathbb{R}$に依存する角振動数$\omega(t)>0$ を持つ単位質量の一次元調和振動子を考える． 古典論におけるハミルトニアンは $\mathcal{H}(t) = \frac{1}{2} (p^2 + \omega(t)^2 q^2)$, $(p, q) \in \mathbb{R}$ である． ただし，$p$ は運動量，$q$ は位置を表す．ハミルトン正準方程式の古典解 $(p(t), q(t))$ および補助微分方程式

$$\ddot{\xi}(t) + \omega(t)^2 \xi(t) = \frac{1}{\xi(t)^3}$$

の実解 $\xi(t)$ が与えられたとき，

$$\mathcal{I}(t) = \frac{1}{2} \bigg \{\Big(\xi(t) p(t) - \dot{\xi}(t) q(t) \Big)^2 + \bigg(\frac{q(t)}{\xi(t)} \bigg)^2 \bigg \}$$

は保存量，即ち $\dot{\mathcal{I}}(t) = 0$ であることを示せ．

(ii) これより前問の量子力学版を考えることにする． $h=1, i=\sqrt{-1}$ とすれば，運動量演算子 $P$ および位置演算子 $Q$ は正準交換関係 $|Q, P|=i$ を満たす．ハミルトニアンは $H(t) = \frac{1}{2} (P^2 + \omega(t)^2 Q^2)$ と表せる．時間発展を記述するユニタリー演算子 $U(t)$ は

$$\dot{U}(t) = -i H(t) U(t), \ \ U(0) = 1$$

を満たす．そこでで $P(t) = U(t)^{\dagger}P(0)U(t), Q(t) = U(t)^{\dagger}Q(0)U(t), P(0) =P, Q(0) = Q$ とし， 前問の $\mathcal{I}(t)$ において $p(t)$ および $q(t)$ を各々 $P(t)$ および $Q(t)$ で置き換えて得られる演算子を $I(t)$ とする．今

$$A_{\pm}(t) = \frac{1}{\sqrt{2}} \bigg\{\frac{Q(t)}{\xi(t)} \mp i \Big(\xi(t)P(t) - \dot{\xi}(t) Q(t) \Big) \bigg\}$$

とすれば，交換関係 $[A_{-}(t), A_{+}(t)] = 1$ が成り立ち，$I(t) = A_{+}(t) A_{-}(t) + \frac{1}{2}$ と表せることを示せ．

(iii) $A_{\pm}(t)$ が

$$\dot{A}_{\pm} (t) = \frac{\pm i}{\xi(t)^2} A_{\pm}(t)$$

を満たすことを示すことにより，$\dot{I}(t) = 0$ を確かめよ．

Kai

$\pm, \mp$ はすべて複合同順とする。

(i)

ハミルトン正準方程式は

$$\begin{aligned} \dot{q} &= \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p} = p ,\\ \dot{p} &= - \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q} = - \omega^2 q \end{aligned}$$

である。 これと与えられた補助微分方程式とを使って、

$$\begin{aligned} \dot{\mathcal{I}}(t) &= \left( \xi(t) p(t) - \dot{\xi}(t) q(t) \right) \left( \dot{\xi}(t) p(t) + \xi(t) \dot{p}(t) - \ddot{\xi}(t) q(t) - \dot{\xi}(t) \dot{q}(t) \right) \\ & \ \ \ \ + \frac{q(t)}{\xi(t)} \frac{\dot{q}(t) \xi(t) - q(t) \dot{\xi}(t)}{\xi(t)^2} \\ &= \left( \xi(t) p(t) - \dot{\xi}(t) q(t) \right) \left( \dot{\xi}(t) p(t) - \omega(t)^2 \xi(t) q(t) - \left( \frac{1}{\xi(t)^3} - \omega(t)^2 \xi(t) \right) q(t) - \dot{\xi}(t) p(t) \right) \\ & \ \ \ \ + \frac{q(t)}{\xi(t)^3} \left( p(t) \xi(t) - q(t) \dot{\xi}(t) \right) \\ &= \left( \xi(t) p(t) - \dot{\xi}(t) q(t) \right) \frac{-q(t)}{\xi(t)^3} + \frac{q(t)}{\xi(t)^3} \left( p(t) \xi(t) - q(t) \dot{\xi}(t) \right) \\ &= 0 \end{aligned}$$

がわかる。

(ii)

$[Q,P]=i, \ U^\dagger(t)U(t) = U(t)U^\dagger(t) = 1$ より、

$$\begin{aligned} \left[ Q(t), P(t) \right] &= U^\dagger(t) Q U(t) U^\dagger(t) P U(t) - U^\dagger(t) P U(t) U^\dagger(t) Q U(t) \\ &= U^\dagger(t) Q P U(t) - U^\dagger(t) P Q U(t) \\ &= U^\dagger(t) [Q,P] P U(t) \\ &= i \end{aligned}$$

であり、

$$\begin{aligned} A_\pm(t) A_\mp(t) &= \frac{1}{2} \left\{ \frac{Q(t)}{\xi(t)} \mp i \left( \xi(t)P(t) - \dot{\xi}(t)Q(t) \right) \right\} \left\{ \frac{Q(t)}{\xi(t)} \pm i \left( \xi(t)P(t) - \dot{\xi}(t)Q(t) \right) \right\} \\ &= \frac{1}{2} \left\{ \frac{Q(t)^2}{\xi(t)^2} + \left( \xi(t)P(t) - \dot{\xi}(t)Q(t) \right)^2 \pm i \left( \xi(t)Q(t)P(t) - \dot{\xi}(t)Q(t)^2 \right) \mp i \left( \xi(t)P(t)Q(t) - \dot{\xi}(t)Q(t)^2 \right) \right\} \\ &= I(t) \mp \frac{1}{2} \end{aligned}$$

であるから、

$$\begin{aligned} \left[ A_-(t), A_+(t) \right] &= \left( I(t) + \frac{1}{2} \right) - \left( I(t) - \frac{1}{2} \right) \\ &= 1 ,\\ I(t) &= A_+(t) A_-(t) + \frac{1}{2} \end{aligned}$$

がわかる。

(iii)

$$\begin{aligned} \dot{U}^\dagger(t) &= i U^\dagger(t) H^\dagger(t) \\ &= i U^\dagger(t) H(t) ,\\ \left[ H(t), Q \right] &= \frac{1}{2} \left[ P^2, Q \right] \\ &= \frac{1}{2} \left( P \left[ P, Q \right] + \left[ P, Q \right] P \right) \\ &= -iP ,\\ \left[ H(t), P \right] &= \frac{\omega(t)^2}{2} \left[ Q^2, P \right] \\ &= \frac{\omega(t)^2}{2} \left( Q \left[ Q, P \right] + \left[ Q, P \right] Q \right) \\ &= i \omega(t)^2 Q ,\\ \dot{Q}(t) &= \dot{U}^\dagger(t) Q U(t) + U^\dagger(t) Q \dot{U}(t) \\ &= i U^\dagger(t) H(t) Q U(t) - i U^\dagger(t) Q H(t) U(t) \\ &= P(t) ,\\ \dot{P}(t) &= \dot{U}^\dagger(t) P U(t) + U^\dagger(t) P \dot{U}(t) \\ &= i U^\dagger(t) H(t) P U(t) - i U^\dagger(t) P H(t) U(t) \\ &= - \omega(t)^2 Q(t) ,\\ A_\pm(t) &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left\{ \frac{\dot{Q}(t) \xi(t) - Q(t) \dot{\xi}(t)}{\xi(t)^2} \mp i \left( \dot{\xi}(t) P(t) + \xi(t) \dot{P}(t) - \ddot{\xi}(t) Q(t) - \dot{\xi}(t) \dot{Q}(t) \right) \right\} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left\{ \frac{P(t) \xi(t) - Q(t) \dot{\xi}(t)}{\xi(t)^2} \mp i \left( \dot{\xi}(t) P(t) - \omega(t)^2 \xi(t) Q(t) + \left( \omega(t)^2 \xi(t) - \frac{1}{\xi(t)^3} \right) Q(t) - \dot{\xi}(t) P(t) \right) \right\} \\ &= \frac{\pm i}{\sqrt{2} \xi(t)^2} \left( \frac{Q(t)}{\xi(t)} \mp i \left( P(t) \xi(t) - Q(t) \dot{\xi}(t) \right) \right) \\ &= \frac{\pm i}{\xi(t)^2} A_\pm(t) ,\\ \dot{I}(t) &= \dot{A}_+(t) A_-(t) + A_+(t) \dot{A}_-(t) \\ &= \frac{i}{\xi(t)^2} A_+(t) A_-(t) - \frac{i}{\xi(t)^2} A_+(t) A_-(t) \\ &= 0 \end{aligned}$$