京都大学 理学研究科 数学・数理解析専攻 2023年8月実施 専門科目 [13]

Author

Miyake

Description

以下の問に答えよ．

(i) 時間 に依存する角振動数 を持つ単位質量の一次元調和振動子を考える． 古典論におけるハミルトニアンは , である． ただし， は運動量， は位置を表す．ハミルトン正準方程式の古典解 および補助微分方程式

の実解 が与えられたとき，

は保存量，即ち であることを示せ．

(ii) これより前問の量子力学版を考えることにする． とすれば，運動量演算子 および位置演算子 は正準交換関係 を満たす．ハミルトニアンは と表せる．時間発展を記述するユニタリー演算子 は

を満たす．そこでで とし， 前問の において および を各々 および で置き換えて得られる演算子を とする．今

とすれば，交換関係 が成り立ち， と表せることを示せ．

(iii) が

を満たすことを示すことにより， を確かめよ．

Kai

はすべて複合同順とする。

(i)

ハミルトン正準方程式は

である。 これと与えられた補助微分方程式とを使って、

がわかる。

(ii)

より、

であり、

であるから、

がわかる。

(iii)