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京都大学 理学研究科 数学・数理解析専攻 2024年度 基礎科目 問題7

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

nn を正の整数とする。複素 nn 次正方行列全体の集合 Mn(C)M_n(\mathbb C) を行列の和とスカラー倍により複素ベクトル空間とみなす。対角行列 A∈Mn(C)A\in M_n(\mathbb C) を

A=diag⁡(1,2,…,n)A=\operatorname{diag}(1,2,\ldots,n)

と定める。このとき、ある B∈Mn(C)B\in M_n(\mathbb C) が存在して

{AiBj∈Mn(C)∣i,j∈{0,1,…,n−1}}\{A^iB^j\in M_n(\mathbb C)\mid i,j\in\{0,1,\ldots,n-1\}\}

が Mn(C)M_n(\mathbb C) の基底となることを示せ。ただし A0=B0=EA^0=B^0=E（単位行列）とする。

题目描述​

设 nn 为正整数，Mn(C)M_n(\mathbb C) 是所有 nn 阶复方阵组成的复向量空间。令 A=diag⁡(1,2,…,n)A=\operatorname{diag}(1,2,\ldots,n)。证明存在 B∈Mn(C)B\in M_n(\mathbb C)，使

{AiBj∣0≤i,j≤n−1}\{A^iB^j\mid 0\le i,j\le n-1\}

构成 Mn(C)M_n(\mathbb C) 的一组基，其中 A0=B0=EA^0=B^0=E。

Kai​

標準基底を e1,…,ene_1,\ldots,e_n とし、巡回置換行列 BB を

Bek=ek+1 (1≤k<n),Ben=e1Be_k=e_{k+1}\ (1\le k<n),\qquad Be_n=e_1

により定める。n=1n=1 では B=(1)B=(1) とする。

0≤j<n0\le j<n に対し、BjB^j の非零成分は r≡s+j(modn)r\equiv s+j\pmod n を満たす位置 (r,s)(r,s) にあり、そこで値 11 を取る。異なる jj の非零位置は互いに交わらない。

いま

∑j=0n−1∑i=0n−1cijAiBj=0\sum_{j=0}^{n-1}\sum_{i=0}^{n-1}c_{ij}A^iB^j=0

とする。jj を固定して、各行 r=1,…,nr=1,\ldots,n の BjB^j が非零となる成分を比べると

∑i=0n−1cijri=0(r=1,…,n).\sum_{i=0}^{n-1}c_{ij}r^i=0\qquad(r=1,\ldots,n).

左辺の多項式は次数 n−1n-1 以下で相異なる nn 個の根を持つので恒等的に 00 である。従ってすべての cij=0c_{ij}=0 であり、n2n^2 個の行列 AiBjA^iB^j は1次独立である。dim⁡CMn(C)=n2\dim_{\mathbb C}M_n(\mathbb C)=n^2 だから、これらは基底となる。

Reference​

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