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京都大学 理学研究科 数学・数理解析専攻 2024年度 基礎科目 問題6

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

S2={(x1,x2,x3)∈R3∣x12+x22+x32=1}S^2=\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb R^3\mid x_1^2+x_2^2+x_3^2=1\} とする。写像 f=(f1,f2,f3):S2×S2→R3f=(f_1,f_2,f_3):S^2\times S^2\to\mathbb R^3 を

f((x1,x2,x3),(y1,y2,y3))=(x1+y1,x2+y2,x3+y3)f((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3))=(x_1+y_1,x_2+y_2,x_3+y_3)

により定める。この写像の臨界値をすべて求めよ。ただし q∈R3q\in\mathbb R^3 が ff の臨界値であるとは、ある p∈S2×S2p\in S^2\times S^2 が存在して f(p)=qf(p)=q であり、pp のまわりの局所座標系 (u1,u2,u3,u4)(u_1,u_2,u_3,u_4) に関するヤコビ行列

(∂fi∂uj(p))1≤i≤3, 1≤j≤4\left(\frac{\partial f_i}{\partial u_j}(p)\right)_{1\le i\le3,\ 1\le j\le4}

の階数が 22 以下となることである。

题目描述​

设 S2={x∈R3∣∥x∥=1}S^2=\{x\in\mathbb R^3\mid\|x\|=1\}，定义 f:S2×S2→R3f:S^2\times S^2\to\mathbb R^3 为 f(x,y)=x+yf(x,y)=x+y。求所有临界值。这里 qq 是临界值，是指存在 p∈S2×S2p\in S^2\times S^2 使 f(p)=qf(p)=q，且 ff 关于 pp 附近任意局部坐标的 3×43\times4 雅可比矩阵的秩不超过 22。

Kai​

x∈S2x\in S^2 での接空間は TxS2=x⊥T_xS^2=x^\perp であり、

df(x,y):x⊥⊕y⊥⟶R3,(u,v)⟼u+v.df_{(x,y)}:x^\perp\oplus y^\perp\longrightarrow\mathbb R^3, \qquad (u,v)\longmapsto u+v.

その像は x⊥+y⊥x^\perp+y^\perp であり、

(Im⁡df(x,y))⊥=span⁡(x)∩span⁡(y).(\operatorname{Im}df_{(x,y)})^\perp =\operatorname{span}(x)\cap\operatorname{span}(y).

従って階数が 22 以下となる必要十分条件は x,yx,y が平行であること、すなわち単位ベクトルであることから y=xy=x または y=−xy=-x である。そのとき階数は 22 となる。

y=xy=x のとき f(x,y)=2xf(x,y)=2x、y=−xy=-x のとき f(x,y)=0f(x,y)=0 なので、臨界値全体は

{0} ∪ {q∈R3∣∥q∥=2}.\boxed{\{0\}\ \cup\ \{q\in\mathbb R^3\mid\|q\|=2\}}.

Reference​

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