京都大学理学研究科数学・数理解析専攻 2024年度基礎科目問題5

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

$a$ を正の実数とする。次の広義積分の値を求めよ。

\int_{-\infty}^\infty\frac{(\cos x-1)(x+1)}{x(x^2+a^2)}\,dx.

设 $a>0$ 。计算反常积分

\int_{-\infty}^\infty\frac{(\cos x-1)(x+1)}{x(x^2+a^2)}\,dx.

$x=0$ の近くでは $\cos x-1=O(x^2)$ 、無限遠では被積分関数は $O(x^{-2})$ なので、積分は絶対収束する。

\frac{(\cos x-1)(x+1)}{x(x^2+a^2)} =\frac{\cos x-1}{x^2+a^2}+\frac{\cos x-1}{x(x^2+a^2)}.

第2項は奇関数であるため、その全実軸上の積分は $0$ である。上半平面の半円路で $e^{iz}/(z^2+a^2)$ に留数定理を用いると

\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{ix}}{x^2+a^2}\,dx =2\pi i\frac{e^{-a}}{2ia}=\frac\pi a e^{-a}.

また $\int_{-\infty}^\infty dx/(x^2+a^2)=\pi/a$ である。従って求める積分は

\boxed{\frac\pi a(e^{-a}-1)}.