京都大学理学研究科数学・数理解析専攻 2023年8月実施基礎科目問題4

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祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

$r$ を正の実数とし， $\mathbb R$ 上の関数 $\rho_r(x)$ を

\rho_r(x)=\sin\left(re^{-r^2x^2}\right)

と定義する。 $\mathbb R$ 上の有界な実数値連続関数 $f(x)$ に対し，次の問に答えよ。

(1) 任意の $r>0$ に対し，広義積分 $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\rho_r(x)\,dx$ が収束することを示せ。

(2) $\displaystyle\lim_{r\to\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\rho_r(x)\,dx=0$ を示せ。

(3) $f(x)$ が $x=0$ で微分可能で $f(0)=0$ を満たすとき， $\displaystyle\lim_{r\to\infty}r\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\rho_r(x)\,dx=0$ を示せ。

设 $r$ 为正实数，定义 $\mathbb R$ 上的函数 $\rho_r(x)$ 为

\rho_r(x)=\sin\left(re^{-r^2x^2}\right).

对于 $\mathbb R$ 上的有界实值连续函数 $f(x)$ ，回答下列问题。

(1) 证明对任意 $r>0$ ，反常积分 $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\rho_r(x)\,dx$ 收敛。

(2) 证明 $\displaystyle\lim_{r\to\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\rho_r(x)\,dx=0$ 。

(3) 当 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可微且满足 $f(0)=0$ 时，证明 $\displaystyle\lim_{r\to\infty}r\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\rho_r(x)\,dx=0$ 。

$M=\sup_{x\in\mathbb R}|f(x)|<\infty$ と置く。以下では

|\rho_r(x)|\le\min\{1,r e^{-r^2x^2}\}

を用いる。

\int_{\mathbb R}|f(x)\rho_r(x)|\,dx \le Mr\int_{\mathbb R}e^{-r^2x^2}\,dx=M\sqrt\pi<\infty.

したがって絶対収束する。

$\delta>0$ に対して積分を $|x|\le\delta$ と $|x|>\delta$ に分ける。前者の絶対値は $2M\delta$ 以下である。後者は、 $u=rx$ と変換すると

Mr\int_{|x|>\delta}e^{-r^2x^2}\,dx =2M\int_{r\delta}^{\infty}e^{-u^2}\,du\longrightarrow0.

よって積分の絶対値の上極限は $2M\delta$ 以下であり、 $\delta\downarrow0$ とすれば結論を得る。

$f(0)=0$ と原点での微分可能性により、ある $C,\delta>0$ について $|f(x)|\le C|x|$ （ $|x|\le\delta$ ）である。十分大きな $r$ に対して $\varepsilon_r=r^{-3/4}<\delta$ と置く。原点付近は

r\int_{|x|\le\varepsilon_r}|f(x)\rho_r(x)|\,dx \le Cr\int_{-\varepsilon_r}^{\varepsilon_r}|x|\,dx =Cr^{-1/2}\longrightarrow0.

また $\int_a^\infty e^{-u^2}\,du\le e^{-a^2}/(2a)$ （ $a>0$ ）を使うと、残りの部分は

\begin{aligned} r\int_{|x|>\varepsilon_r}|f(x)\rho_r(x)|\,dx &\le2Mr\int_{r\varepsilon_r}^{\infty}e^{-u^2}\,du\\ &\le Mr^{3/4}e^{-\sqrt r}\longrightarrow0. \end{aligned}

したがって、 $r$ を掛けた積分も $0$ に収束する。