京都大学理学研究科数学・数理解析専攻 2024年度基礎科目問題3

标签：

Author

祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

$n,m$ を $n \ge 2m$ を満たす正の整数とする。 $V$ を有限次元複素ベクトル空間とする。 $f: V\rightarrow V$ を $f^n = f^m$ を満たす線形写像とする。このとき、

V = \text{Ker}(f^m) \oplus \text{Im} (f^m)

を示せ。ここで、 $\text{Ker}(f^m)$ は $f^m$ の核であり、 $\text{Im}(f^m)$ は $f^m$ の像である。

设 $n,m$ 为满足 $n\geq2m$ 的正整数， $V$ 为有限维复向量空间，线性映射 $f:V\to V$ 满足

f^n=f^m.

证明

V=\ker(f^m)\oplus\operatorname{Im}(f^m),

其中 $\ker(f^m)$ 与 $\operatorname{Im}(f^m)$ 分别是 $f^m$ 的核与像。

$v \in V$ に対して

\begin{aligned} w &= f^{n-m}(v) ,\\ u &= v - w \end{aligned}

とおく。 $n \geq 2m$ なので、

\begin{aligned} w &= f^m \left( f^{n-2m} (v) \right) \end{aligned}

と書け、 $f^{n-2m}(v) \in V$ なので $w \in \mathrm{Im}(f^m)$ である。また、

\begin{aligned} f^m(u) &= f^m(v) - f^n(v) \\ &= 0 \end{aligned}

なので、 $u \in \mathrm{Ker}(f^m)$ である。したがって、任意の $v \in V$ に対して

\begin{aligned} v = u + w \end{aligned}

であるような $u \in \mathrm{Ker}(f^m), \ w \in \mathrm{Im}(f^m)$ が存在するので、

\begin{aligned} V \subset \mathrm{Ker}(f^m) + \mathrm{Im}(f^m) \ \ \ \ \left( = \left\{ u+w \mid u \in \mathrm{Ker}(f^m), w \in \mathrm{Im}(f^m) \right\} \right) \end{aligned}

がわかる。

$\mathrm{Ker}(f^m) \subset V, \ \mathrm{Im}(f^m) \subset V$ から

\begin{aligned} \mathrm{Ker}(f^m) + \mathrm{Im}(f^m) \subset V \end{aligned}

がわかる。

$v \in V$ が $v \in \mathrm{Ker}(f^m)$ かつ $v \in \mathrm{Im}(f^m)$ を満たすとすると、 $v \in \mathrm{Im}(f^m)$ より

\begin{aligned} v = f^m(v_0) \end{aligned}

を満たす $v_0 \in V$ が存在し、

\begin{aligned} v &= f^m(v_0) \\ &= f^n(v_0) \ \ \ \ \ \ \ \ ( \because f^n = f^m ) \\ &= f^{n-2m} \left( f^m (v) \right) \\ &= f^{n-2m} (0) \ \ \ \ \ \ \ \ ( \because v \in \mathrm{Ker}(f^m) ) \\ &= 0 \end{aligned}

を得る。つまり、

\begin{aligned} \mathrm{Ker}(f^m) \cap \mathrm{Im}(f^m) = \left\{ 0 \right\} \end{aligned}

である。

(i), (ii) より、

\begin{aligned} V = \mathrm{Ker}(f^m) + \mathrm{Im}(f^m) \end{aligned}

がわかり、さらに (iii) より、

\begin{aligned} V = \mathrm{Ker}(f^m) \oplus \mathrm{Im}(f^m) \end{aligned}

がわかる。