京都大学理学研究科数学・数理解析専攻 2024年度基礎科目問題2

标签：

Author

祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

$a$ を複素数とし、複素 $3$ 次正方行列 $A$ を

A= \begin{pmatrix} a-1 & 0 & 0 \\ 1 & -a & 1 \\ 2a & -2a & a+1 \end{pmatrix}

と定める。行列 $A$ の固有値を全て求めよ。また、 $A$ の階数を求めよ。

设 $a$ 为复数，定义三阶复方阵

A= \begin{pmatrix} a-1&0&0\\ 1&-a&1\\ 2a&-2a&a+1 \end{pmatrix}.

求矩阵 $A$ 的全部特征值，并求 $A$ 的秩。

(i) $A$ の固有値を $\lambda$ とすると、

\begin{aligned} 0 &= \begin{vmatrix} a-1-\lambda & 0 & 0 \\ 1 & -a-\lambda & 1 \\ 2a & -2a & a+1-\lambda \end{vmatrix} \\ &= (a-1-\lambda) \begin{vmatrix} -a-\lambda & 1 \\ -2a & a+1-\lambda \end{vmatrix} \\ &= -(\lambda-a+1)(\lambda^2 - \lambda - a(a-1)) \\ &= -(\lambda-a+1)(\lambda - a)(\lambda + a - 1) \\ \therefore \ \ \lambda &= a-1, a, -a+1 \end{aligned}

である。

(ii) $A$ を列基本変形すると、次のようにできる：

\begin{aligned} \begin{pmatrix} a-1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ a-1 & a+1 & a(a-1) \end{pmatrix} . \end{aligned}

これを構成する3つの列ベクトルの1次独立性に注目すると、 $A$ のランクは、 $a=1$ のときは $1$ , $a=0$ のときは $2$ , その他のときは $3$ であることがわかる。