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京都大学 理学研究科 数学・数理解析専攻 2023年8月実施 基礎科目 [1] ~ [4]

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Author​

Miyake

Description​

[2]​

aa を複素数とし、複素 33 次正方行列 AA を

A=(a−1001−a12a−2aa+1)A= \begin{pmatrix} a-1 & 0 & 0 \\ 1 & -a & 1 \\ 2a & -2a & a+1 \end{pmatrix}

と定める。行列 AA の固有値を全て求めよ。また、AA の階数を求めよ。

[3]​

n,mn,m を n≥2mn \ge 2m を満たす正の整数とする。VV を有限次元複素ベクトル空間とする。 f:V→Vf: V\rightarrow V を fn=fmf^n = f^m を満たす線形写像とする。こと時、

V=Ker(fm)⊕Im(fm)V = \text{Ker}(f^m) \oplus \text{Im} (f^m)

を示せ。ここで、Ker(fm)\text{Ker}(f^m) は fmf^m の核であり、Im(fm)\text{Im}(f^m) は fmf^m の像である。

Kai​

[2]​

(i) AA の固有値を λ\lambda とすると、

0=∣a−1−λ001−a−λ12a−2aa+1−λ∣=(a−1−λ)∣−a−λ1−2aa+1−λ∣=−(λ−a+1)(λ2−λ−a(a−1))=−(λ−a+1)(λ−a)(λ+a−1)∴  λ=a−1,a,−a+1\begin{aligned} 0 &= \begin{vmatrix} a-1-\lambda & 0 & 0 \\ 1 & -a-\lambda & 1 \\ 2a & -2a & a+1-\lambda \end{vmatrix} \\ &= (a-1-\lambda) \begin{vmatrix} -a-\lambda & 1 \\ -2a & a+1-\lambda \end{vmatrix} \\ &= -(\lambda-a+1)(\lambda^2 - \lambda - a(a-1)) \\ &= -(\lambda-a+1)(\lambda - a)(\lambda + a - 1) \\ \therefore \ \ \lambda &= a-1, a, -a+1 \end{aligned}

である。

(ii) AA を列基本変形すると、次のようにできる：

(a−100010a−1a+1a(a−1)).\begin{aligned} \begin{pmatrix} a-1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ a-1 & a+1 & a(a-1) \end{pmatrix} . \end{aligned}

これを構成する3つの列ベクトルの1次独立性に注目すると、AA のランクは、a=1a=1 のときは 11 , a=0a=0 のときは 22 , その他のときは 33であることがわかる。

[3]​

(i)​

v∈Vv \in V に対して

w=fn−m(v),u=v−w\begin{aligned} w &= f^{n-m}(v) ,\\ u &= v - w \end{aligned}

とおく。 n≥2mn \geq 2m なので、

w=fm(fn−2m(v))\begin{aligned} w &= f^m \left( f^{n-2m} (v) \right) \end{aligned}

と書け、 fn−2m(v)∈Vf^{n-2m}(v) \in V なので w∈Im(fm)w \in \mathrm{Im}(f^m) である。 また、

fm(u)=fm(v)−fn(v)=0\begin{aligned} f^m(u) &= f^m(v) - f^n(v) \\ &= 0 \end{aligned}

なので、 u∈Ker(fm)u \in \mathrm{Ker}(f^m) である。 したがって、任意の v∈Vv \in V に対して

v=u+w\begin{aligned} v = u + w \end{aligned}

であるような u∈Ker(fm), w∈Im(fm)u \in \mathrm{Ker}(f^m), \ w \in \mathrm{Im}(f^m) が存在するので、

V⊂Ker(fm)+Im(fm)    (={u+w∣u∈Ker(fm),w∈Im(fm)})\begin{aligned} V \subset \mathrm{Ker}(f^m) + \mathrm{Im}(f^m) \ \ \ \ \left( = \left\{ u+w \mid u \in \mathrm{Ker}(f^m), w \in \mathrm{Im}(f^m) \right\} \right) \end{aligned}

がわかる。

(ii)​

Ker(fm)⊂V, Im(fm)⊂V\mathrm{Ker}(f^m) \subset V, \ \mathrm{Im}(f^m) \subset V から

Ker(fm)+Im(fm)⊂V\begin{aligned} \mathrm{Ker}(f^m) + \mathrm{Im}(f^m) \subset V \end{aligned}

がわかる。

(iii)​

v∈Vv \in V が v∈Ker(fm)v \in \mathrm{Ker}(f^m) かつ v∈Im(fm)v \in \mathrm{Im}(f^m) を満たすとすると、 v∈Im(fm)v \in \mathrm{Im}(f^m) より

v=fm(v0)\begin{aligned} v = f^m(v_0) \end{aligned}

を満たす v0∈Vv_0 \in V が存在し、

v=fm(v0)=fn(v0)        (∵fn=fm)=fn−2m(fm(v))=fn−2m(0)        (∵v∈Ker(fm))=0\begin{aligned} v &= f^m(v_0) \\ &= f^n(v_0) \ \ \ \ \ \ \ \ ( \because f^n = f^m ) \\ &= f^{n-2m} \left( f^m (v) \right) \\ &= f^{n-2m} (0) \ \ \ \ \ \ \ \ ( \because v \in \mathrm{Ker}(f^m) ) \\ &= 0 \end{aligned}

を得る。 つまり、

Ker(fm)∩Im(fm)={0}\begin{aligned} \mathrm{Ker}(f^m) \cap \mathrm{Im}(f^m) = \left\{ 0 \right\} \end{aligned}

である。

(iv)​

(i), (ii) より、

V=Ker(fm)+Im(fm)\begin{aligned} V = \mathrm{Ker}(f^m) + \mathrm{Im}(f^m) \end{aligned}

がわかり、さらに (iii) より、

V=Ker(fm)⊕Im(fm)\begin{aligned} V = \mathrm{Ker}(f^m) \oplus \mathrm{Im}(f^m) \end{aligned}

がわかる。

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