京都大学 理学研究科 数学・数理解析専攻 2023年8月実施 基礎科目 [1] ~ [4]

Author

Miyake

Description

[2]

を複素数とし、複素 次正方行列 を

と定める。行列 の固有値を全て求めよ。また、 の階数を求めよ。

[3]

を を満たす正の整数とする。 を有限次元複素ベクトル空間とする。 を を満たす線形写像とする。こと時、

を示せ。ここで、 は の核であり、 は の像である。

Kai

[2]

(i) の固有値を とすると、

である。

(ii) を列基本変形すると、次のようにできる：

これを構成する3つの列ベクトルの1次独立性に注目すると、 のランクは、 のときは , のときは , その他のときは であることがわかる。

[3]

(i)

に対して

とおく。 なので、

と書け、 なので である。 また、

なので、 である。 したがって、任意の に対して

であるような が存在するので、

がわかる。

(ii)

から

がわかる。

(iii)

が かつ を満たすとすると、 より

を満たす が存在し、

を得る。 つまり、

である。

(iv)

(i), (ii) より、

がわかり、さらに (iii) より、

がわかる。