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京都大学 理学研究科 数学・数理解析専攻 2024年度 基礎科目 問題1

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Author​

祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

D={(x,y)∈R2:x≥0, y≥0, (x2+y2)2≤x2+2y2}D=\{(x,y)\in\mathbb R^2:x\ge0,\ y\ge0,\ (x^2+y^2)^2\le x^2+2y^2\}

上の積分 ∬Dxye1−x2−y2 dx dy\iint_Dxy e^{1-x^2-y^2}\,dx\,dy を求める。

题目描述​

设 D={(x,y)∈R2:x≥0, y≥0, (x2+y2)2≤x2+2y2}D=\{(x,y)\in\mathbb R^2:x\ge0,\ y\ge0,\ (x^2+y^2)^2\le x^2+2y^2\}。求 ∬Dxye1−x2−y2 dx dy\iint_D xy e^{1-x^2-y^2}\,dx\,dy。

Kai​

極座標 x=rcos⁡θ, y=rsin⁡θx=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta を使うと、0≤θ≤π/20\le\theta\le\pi/2、0≤r2≤1+sin⁡2θ0\le r^2\le1+\sin^2\theta である。u=sin⁡2θ, v=r2u=\sin^2\theta,\ v=r^2 と変数変換すれば、

∬Dxye1−x2−y2 dx dy=14∫01∫01+uve1−v dv du=14∫01(e−(2+u)e−u) du=14(e−3+4e).\begin{aligned} \iint_Dxy e^{1-x^2-y^2}\,dx\,dy &=\frac14\int_0^1\int_0^{1+u}v e^{1-v}\,dv\,du\\ &=\frac14\int_0^1\bigl(e-(2+u)e^{-u}\bigr)\,du\\ &=\frac14\left(e-3+\frac4e\right). \end{aligned}

Reference​

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