京都大学理学研究科数学・数理解析専攻 2023年8月実施基礎科目問題1

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祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

$\mathbb R^2$ の部分集合 $D$ を

D=\{(x,y)\in\mathbb R^2\mid x\ge0,\ y\ge0,\ (x^2+y^2)^2\le x^2+2y^2\}

で定める。積分

\iint_Dxy e^{1-x^2-y^2}\,dx\,dy

の値を求めよ。

定义 $\mathbb R^2$ 的子集 $D$ 为

D=\{(x,y)\in\mathbb R^2\mid x\ge0,\ y\ge0,\ (x^2+y^2)^2\le x^2+2y^2\}.

求积分

\iint_Dxy e^{1-x^2-y^2}\,dx\,dy

的值。

極座標 $x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta$ を使うと、 $0\le\theta\le\pi/2$ 、 $0\le r^2\le1+\sin^2\theta$ である。 $u=\sin^2\theta,\ v=r^2$ と変数変換すれば、

\begin{aligned} \iint_Dxy e^{1-x^2-y^2}\,dx\,dy &=\frac14\int_0^1\int_0^{1+u}v e^{1-v}\,dv\,du\\ &=\frac14\int_0^1\bigl(e-(2+u)e^{-u}\bigr)\,du\\ &=\frac14\left(e-3+\frac4e\right). \end{aligned}