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京都大学 理学研究科 数学・数理解析専攻 2022年8月実施 専門科目 問題7

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

次の集合を定め，∂B\partial B は BB の境界とする。

B:={x=(x1,x2)∈R2; x12+x22<1},B‾:={x=(x1,x2)∈R2; x12+x22≤1}.\begin{aligned} B&:=\{x=(x_1,x_2)\in\mathbb R^2;\ x_1^2+x_2^2<1\},\\ \overline B&:=\{x=(x_1,x_2)\in\mathbb R^2;\ x_1^2+x_2^2\le1\}. \end{aligned}

(1) 実数値関数 f∈C1([0,1])f\in C^1([0,1]) が f(1)=0f(1)=0 を満たしているとき，次が成り立つことを示せ。

∫01f(r)2r dr≤c1∫01f′(r)2r dr.\int_0^1 f(r)^2r\,dr\le c_1\int_0^1 f'(r)^2r\,dr.

ここで，c1>0c_1>0 は ff に依存しない定数である。

(2) 実数値関数 f∈C1(B)∩C(B‾)f\in C^1(B)\cap C(\overline B) は ∂B\partial B 上で f=0f=0 を満たしており，全ての1階偏導関数は B‾\overline B 上の連続関数に拡張できるものとする。このとき，次が成り立つことを示せ。

∫Bf(x)2 dx≤c2∫B{(∂∂x1f(x))2+(∂∂x2f(x))2} dx.\int_B f(x)^2\,dx\le c_2\int_B\left\{ \left(\frac{\partial}{\partial x_1}f(x)\right)^2+ \left(\frac{\partial}{\partial x_2}f(x)\right)^2\right\}\,dx.

ここで，c2>0c_2>0 は ff に依存しない定数である。

(3) 実数値関数 u∈C2((0,∞)×B)∩C([0,∞)×B‾)u\in C^2((0,\infty)\times B)\cap C([0,\infty)\times\overline B) は次を満たすものとする。

  • u(t,x)=0(t∈(0,∞), x∈∂B)u(t,x)=0\quad(t\in(0,\infty),\ x\in\partial B)。
  • 各 t>0t>0 で ∂∂tu(t,⋅)\dfrac{\partial}{\partial t}u(t,\cdot)，∂∂x1u(t,⋅)\dfrac{\partial}{\partial x_1}u(t,\cdot)，∂∂x2u(t,⋅)\dfrac{\partial}{\partial x_2}u(t,\cdot)，∂2∂x1∂x2u(t,⋅)\dfrac{\partial^2}{\partial x_1\partial x_2}u(t,\cdot) は，B‾\overline B 上の連続関数に拡張できる。

このとき，もし

∂∂tu(t,x)−∂2∂x12u(t,x)−∂2∂x22u(t,x)=0(t∈(0,∞), x∈B)\frac{\partial}{\partial t}u(t,x) -\frac{\partial^2}{\partial x_1^2}u(t,x) -\frac{\partial^2}{\partial x_2^2}u(t,x)=0 \qquad(t\in(0,\infty),\ x\in B)

が成り立つならば，全ての t>0t>0 に対して

∫Bu(t,x)2 dx≤c3e−c4t\int_Bu(t,x)^2\,dx\le c_3e^{-c_4t}

が成り立つことを示せ。ここで，c3>0c_3>0 は tt に依存しない定数で，c4>0c_4>0 は tt と uu に依存しない定数である。

题目描述​

定义以下集合，并以 ∂B\partial B 表示 BB 的边界。

B:={x=(x1,x2)∈R2; x12+x22<1},B‾:={x=(x1,x2)∈R2; x12+x22≤1}.\begin{aligned} B&:=\{x=(x_1,x_2)\in\mathbb R^2;\ x_1^2+x_2^2<1\},\\ \overline B&:=\{x=(x_1,x_2)\in\mathbb R^2;\ x_1^2+x_2^2\le1\}. \end{aligned}

(1) 当实值函数 f∈C1([0,1])f\in C^1([0,1]) 满足 f(1)=0f(1)=0 时，证明

∫01f(r)2r dr≤c1∫01f′(r)2r dr.\int_0^1 f(r)^2r\,dr\le c_1\int_0^1 f'(r)^2r\,dr.

这里，c1>0c_1>0 是与 ff 无关的常数。

(2) 假设实值函数 f∈C1(B)∩C(B‾)f\in C^1(B)\cap C(\overline B) 在 ∂B\partial B 上满足 f=0f=0，且所有一阶偏导数均可延拓为 B‾\overline B 上的连续函数。证明

∫Bf(x)2 dx≤c2∫B{(∂∂x1f(x))2+(∂∂x2f(x))2} dx.\int_B f(x)^2\,dx\le c_2\int_B\left\{ \left(\frac{\partial}{\partial x_1}f(x)\right)^2+ \left(\frac{\partial}{\partial x_2}f(x)\right)^2\right\}\,dx.

这里，c2>0c_2>0 是与 ff 无关的常数。

(3) 假设实值函数 u∈C2((0,∞)×B)∩C([0,∞)×B‾)u\in C^2((0,\infty)\times B)\cap C([0,\infty)\times\overline B) 满足以下条件。

  • u(t,x)=0(t∈(0,∞), x∈∂B)u(t,x)=0\quad(t\in(0,\infty),\ x\in\partial B)。
  • 对每个 t>0t>0，∂∂tu(t,⋅)\dfrac{\partial}{\partial t}u(t,\cdot)、∂∂x1u(t,⋅)\dfrac{\partial}{\partial x_1}u(t,\cdot)、∂∂x2u(t,⋅)\dfrac{\partial}{\partial x_2}u(t,\cdot)、∂2∂x1∂x2u(t,⋅)\dfrac{\partial^2}{\partial x_1\partial x_2}u(t,\cdot) 均可延拓为 B‾\overline B 上的连续函数。

证明：若

∂∂tu(t,x)−∂2∂x12u(t,x)−∂2∂x22u(t,x)=0(t∈(0,∞), x∈B),\frac{\partial}{\partial t}u(t,x) -\frac{\partial^2}{\partial x_1^2}u(t,x) -\frac{\partial^2}{\partial x_2^2}u(t,x)=0 \qquad(t\in(0,\infty),\ x\in B),

则对所有 t>0t>0，有

∫Bu(t,x)2 dx≤c3e−c4t.\int_Bu(t,x)^2\,dx\le c_3e^{-c_4t}.

这里，c3>0c_3>0 是与 tt 无关的常数，c4>0c_4>0 是与 t,ut,u 均无关的常数。

Kai​

(1)​

0<r≤10<r\le1 について f(r)=−∫r1f′(s) dsf(r)=-\int_r^1f'(s)\,ds だから、Cauchy–Schwarz の不等式より

∣f(r)∣2≤(∫r1∣f′(s)∣2s ds)(∫r1dss)≤log⁡1r∫01∣f′(s)∣2s ds.\begin{gathered} |f(r)|^2\\ \le\\ \left(\int_r^1|f'(s)|^2s\,ds\right)\\ \left(\int_r^1\frac{ds}{s}\right) \\ \le\log\frac1r\int_0^1|f'(s)|^2s\,ds. \end{gathered}

両辺に rr を掛けて積分すると、∫01rlog⁡(1/r) dr=1/4\int_0^1r\log(1/r)\,dr=1/4 より c1=1/4\boxed{c_1=1/4} とできる。

(2)​

各 θ\theta について Fθ(r)=f(rcos⁡θ,rsin⁡θ)F_\theta(r)=f(r\cos\theta,r\sin\theta) に (1) を適用する。Fθ(1)=0F_\theta(1)=0 であり、∣Fθ′(r)∣≤∣∇f(rcos⁡θ,rsin⁡θ)∣|F_\theta'(r)|\le|\nabla f(r\cos\theta,r\sin\theta)| だから、極座標で積分して

∫Bf2 dx≤14∫B∣∇f∣2 dx.\int_Bf^2\,dx\le\frac14\int_B|\nabla f|^2\,dx.

よって c2=1/4\boxed{c_2=1/4}。

(3)​

E(t)=∫Bu(t,x)2 dxE(t)=\int_Bu(t,x)^2\,dx とおく。熱方程式、境界条件および部分積分により、t>0t>0 で

E′(t)=2∫BuΔu dx=−2∫B∣∇u∣2 dx≤−8E(t).\begin{gathered} E'(t)=2\int_Bu\Delta u\,dx\\ =-2\int_B|\nabla u|^2\,dx\le-8E(t). \end{gathered}

部分積分は半径 ρ<1\rho<1 の円盤上で行い、ρ↑1\rho\uparrow1 とすればよい。境界で u=0u=0、1階偏導関数と Δu=ut\Delta u=u_t は境界まで連続なので境界項は消える。

したがって 0<s<t0<s<t に対し E(t)≤E(s)e−8(t−s)E(t)\le E(s)e^{-8(t-s)}。初期時刻までの連続性から E(s)→E(0)E(s)\to E(0) であるので

E(t)≤E(0)e−8t.\boxed{E(t)\le E(0)e^{-8t}}.

特に c3=1+E(0)>0c_3=1+E(0)>0、c4=8c_4=8 と取ればよい。

Reference​

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